Question

如圖，Rt△ABC的兩直角邊AC邊長為4，BC邊長為3，它的內(nèi)切圓為⊙0，⊙0與邊AB、BC、AC分別相切于點(diǎn)D、E、F，延長C0交斜邊AB于點(diǎn)G．
（1）求⊙0的半徑長；
（2）求線段DG的長．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理求AB，設(shè)⊙O的半徑為r，則r=

1

2

（AC+BC-AB）求解；
（2）過G作GP⊥AC，垂足為P，根據(jù)CG平分直角∠ACB可知△PCG為等腰直角三角形，設(shè)PG=PC=x，則CG=

2

x，由（1）可知CO=

2

r=

2

，由Rt△AGP∽R(shí)t△ABC，利用相似比求x，由OG=CG-CO求OG，在Rt△ODG中，由勾股定理求DG．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=

AC2+BC2

=5，
∴⊙O的半徑r=

1

2

（AC+BC-AB）=

1

2

（4+3-5）=1；

（2）過G作GP⊥AC，垂足為P，設(shè)GP=x，
由∠ACB=90°，CG平分∠ACB，得∠GCP=45°，
∴GP=PC=x，
∵Rt△AGP∽R(shí)t△ABC，
∴

x

3

=

4-x

4

，
解得x=

12

7

，
即GP=

12

7

，CG=

12 2

7

，
∴OG=CG-CO=

12 2

7

-

2

=

5 2

7

，
在Rt△ODG中，DG=

OG2-OD2

=

1

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的內(nèi)心的性質(zhì)作輔助線，運(yùn)用三角形相似及勾股定理解題．