Question

閱讀以下的例題求解：例：已知x＞0，求函數(shù)y=x+的最小值．
解：令a=x，b=，則有a+b≥2，得y=x+≥2=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，即x=2時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為4．
根據(jù)上面回答下列問題：
①已知x＞0，則當(dāng)x=______時(shí)，函數(shù)y=2x+取到最小值，最小值為______；
②用籬笆圍一個(gè)面積為100m²的矩形花園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆周長是多少？
③已知x＞0，則自變量x取何值時(shí)，函數(shù)取到最大值，最大值為多少？

Answer 1

①∵令a=2x，b=，則有a+b≥2，
∴y=2x+≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)2x=時(shí)，取等號(hào)，
∴x=時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為2．
故答案為：，2；
②設(shè)這個(gè)矩形的長為xm，籬笆周長是ym，
∵面積為100m²，
∴寬為m，
∴y=2（x+）≥4=40，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，即x=10時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為40，
∴這個(gè)矩形的長為10m、寬為10m時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆周長是40m．
③∵y===，
又∵x+≥2=6，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，x+有最小值，
∵x＞0，
∴當(dāng)x=3時(shí)，x+有最小值，最小值為6，
∴此時(shí)y有最大值，最大值為：y==；
∴當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取到最大值，最大值為．
分析：①根據(jù)例題，可得y=2x+≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)2x=時(shí)，函數(shù)y=2x+取到最小值，最小值為2；
②首先設(shè)這個(gè)矩形的長為xm，籬笆周長是ym，可得函數(shù)解析式為：y=2（x+），根據(jù)例題，即可求得答案；
③原函數(shù)可變形為：y=，由x+有最小值，即可求得自變量x取何值時(shí)，函數(shù)取到最大值，并求得最大值．
點(diǎn)評：此題考查了幾何不等式的應(yīng)用．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是理解例題，并能借助于例題求解．