Question

如圖所示，△ABC內(nèi)接于圓O，過(guò)點(diǎn)A的直線交圓O于點(diǎn)P，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，AB²=AP·AD。
（1）求證：AB=AC；
（2）如果∠ABC=60°，圓O的半徑為1，且P為的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng)。

Answer 1

解：（1）連結(jié)BP，
∵AB²=AP·AD
∴，
∵∠BAD=∠PAB，
∴△ABD∽△APB，
∴∠ABC=∠APB，
又∵∠APB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（2）由（1）知AB=AC，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°
∵P為的中點(diǎn)，
∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°
∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°
∴BP為直徑，
∴BP=2，
∴AP=BP=1，
∴AB²=BP²-AP²=3
∵AB²=AP·AD
∴AD==3。