Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）．圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A、B的橫坐標(biāo)分別為-1、3，與y軸負(fù)半軸交于點C．下面五個結(jié)論：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③當(dāng)x≤1時，y隨x值的增大而增大；④當(dāng)-1≤x≤3時，ax²+bx+c＜0；⑤只有當(dāng)a= 時，△ABD是等腰直角三角形．那么，其中正確的結(jié)論是________．（只填你認(rèn)為正確結(jié)論的序號）

Answer 1

①⑤
分析：根據(jù)拋物線的對稱性可得到拋物線的對稱軸為直線x=1，根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x=-=1可判斷①正確；根據(jù)圖象得x=1對應(yīng)的函數(shù)值為負(fù)數(shù)，可判斷以②錯誤；
根據(jù)拋物線當(dāng)a＞0，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小可判斷以③錯誤；利用x=-1或x=3時，ax²+bx+c=0，可判斷④錯誤；
解答：解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸的交點A、B的橫坐標(biāo)分別為-1、3，
∴AB中點坐標(biāo)為（1，0），而點A與點B是拋物線上的對稱點，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴x=-=1，即2a+b=0，所以①正確；
∵當(dāng)x=1時，對應(yīng)的函數(shù)圖象在x軸下方，
∴a+b+c＜0，所以②錯誤；
∵a＞0，
∴當(dāng)x≤1時，y隨x值的增大而減，所以③錯誤；
由于當(dāng)-1＜x＜3時，ax²+bx+c＜0，而x=-1或x=3時，ax²+bx+c=0，所以④錯誤；
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，對稱軸x=1交x軸與E點，如圖，
當(dāng)△ABD是等腰直角三角形，則DE=AB，即||=×4，
∴a=，所以⑤正確．
故答案為①⑤．
點評：本題考查了二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與系數(shù)的關(guān)系：a＞0，開口向上，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減��；對稱軸為直線x=-；拋物線的頂點坐標(biāo)為（-，）；b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點．也考查了拋物線的交點式以及等腰直角三角形的性質(zhì)．