Question

九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組組織了以“等積變形”為主題的課題研究．
第一學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)：如圖（1），點(diǎn)A、點(diǎn)B在直線l₁上，點(diǎn)C、點(diǎn)D在直線l₂上，若l₁∥l₂，則S_△ABC=S_△ABD；反之亦成立．
第二學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)：如圖（2），點(diǎn)P是反比例函數(shù)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線，垂足為M、N，則矩形OMPN的面積為定值|k|．

請(qǐng)利用上述結(jié)論解決下列問(wèn)題：
（1）如圖（3），四邊形ABCD、與四邊形CEFG都是正方形點(diǎn)E在CD上，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，則S_△BDF=______．
（2）如圖（4），點(diǎn)P、Q在反比例函數(shù)圖象上，PQ過(guò)點(diǎn)O，過(guò)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)H，過(guò)Q作x軸的平行線交PH于點(diǎn)G，若S_△PQG=8，則S_△POH=______，k=______．
（3）如圖（5）點(diǎn)P、Q是第一象限的點(diǎn)，且在反比例函數(shù)圖象上，過(guò)點(diǎn)P作x軸垂線，過(guò)點(diǎn)Q作y軸垂線，垂足分別是M、N，試判斷直線PQ與直線MN的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CF，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，CF∥BD，△CBD與△FBD同底等高，故S_△BDF=S_△BDC，可求解；
（2）設(shè)P（x，y），則k=xy，根據(jù)P點(diǎn)所在象限及P、Q關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，得GQ=-2x，PG=2y，由已知，得S_△PQG=×GQ×PG=8，可求S_△POH及k的值；
（3）作PA⊥y軸，QB⊥x軸，垂足為A，B，連接PN，MQ，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知，S_矩形AOMP=S_矩形BONQ=k，可得S_矩形ANCP=S_矩形BMCQ，則有S_△NCP=S_△MCQ，S_△NPQ=S_△MPQ，可證PQ∥MN．
解答：解：（1）連接CF，
∵四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形，
∴CF∥BD，△CBD與△FBD同底等高，
∴S_△BDF=S_△BDC=S_{正方形ABCD}=2；

（2）設(shè)P（x，y），則k=xy，
根據(jù)題意，得GQ=-2x，PG=2y，
∴S_△PQG=×GQ×PG=8，即•（-2x）•2y=8，
解得xy=-4，即k=-4，
S_△POH=×OH×PH=-xy=2；

（3）PQ∥MN．
理由：作PA⊥y軸，QB⊥x軸，垂足為A，B，連接PN，MQ，
根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知，S_矩形AOMP=S_矩形BONQ=k，
∴S_矩形ANCP=S_矩形BMCQ，可知S_△NCP=S_△MCQ，
∴S_△NPQ=S_△MPQ，
∴PQ∥MN．
故本題答案為：（1）2，（2）2，-4．
點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)反比例函數(shù)的知識(shí)，考查學(xué)生的猜想探究能力．解題時(shí)先直觀地猜想，再按照從特殊到一般的方法去驗(yàn)證．