Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-

4

3

x+8的圖象與x軸，y軸交于A、B兩點(diǎn)，OD=

1

4

OB，AC=

1

4

AB，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OA于點(diǎn)E，點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥OA于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作NP∥AB，交OB于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)O重合時(shí)點(diǎn)M停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)AN=a．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）用含a的代數(shù)式表示NP；
（3）是否存在點(diǎn)M，使△MNP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵一次函數(shù)y=-

4

3

x+8的圖象與x軸，y軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（6，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=

OA2+OB2

=10，
∴OD=

1

4

OB=2，AC=

1

4

AB=

5

2

，
∴OD：OB=AC：AB=1：4，
∴CD∥OA，
∵CE⊥OA，MN⊥OA，OA⊥OB，
∴四邊形ODCE與四邊形ODMN是矩形，
∴MN=CE=OD=2，DM=ON，
∴AE=

AC2-CE2

=

3

2

，
∴OE=OA-AE=6-

3

2

=

9

2

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（

9

2

，2）；

（2）∵NP∥AB，
∴

ON

OA

=

NP

AB

，
∵AN=a，
∴ON=OA-AN=6-a，
∴

NP

10

=

6-a

6

，
解得：NP=

30-5a

3

；

（3）存在點(diǎn)M，能夠使△MNP為等腰三角形，理由如下：
過(guò)點(diǎn)D作DQ∥AB交OA于Q，則

OQ

OA

=

OD

OB

，即

OQ

6

=

2

8

，
解得OQ=1.5，
∴AQ=OA-OQ=6-1.5=4.5．
∴當(dāng)a=4.5時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，此時(shí)△MNP不是等腰三角形．
分兩種情況討論：
①當(dāng)0≤a＜4.5，即點(diǎn)P在點(diǎn)D上方時(shí)，如右圖．
∵NP∥AB，
∴

ON

OA

=

OP

OB

，
∴

OP

8

=

6-a

6

，
解得：OP=

24-4a

3

，
∴PD=OP-OD=

18-4a

3

，
∴PM²=PD²+DM²=（

18-4a

3

）²+（6-a）²=

25a2-252a+648

9

．
由于PN＞MN，所以當(dāng)△MNP為等腰三角形時(shí)，可能有兩種情況：
當(dāng)PM=MN時(shí)，

25a2-252a+648

9

=4，解得a₁=4.08，a₂=6（不合題意，舍去）；
當(dāng)PM=PN時(shí)，

25a2-252a+648

9

=（

30-5a

3

）²，解得a=5.25（不合題意，舍去）；
②當(dāng)4.5＜a＜6，即點(diǎn)P在點(diǎn)D下方時(shí)，如右圖．
∵NP∥AB，
∴

ON

OA

=

OP

OB

，
∴

OP

8

=

6-a

6

，
解得：OP=

24-4a

3

，
∴PD=OD-OP=

4a-18

3

，
∴PM²=PD²+DM²=（

4a-18

3

）²+（6-a）²=

25a2-252a+648

9

．
當(dāng)△MNP為等腰三角形時(shí)，可能有三種情況：
當(dāng)PM=MN時(shí)，

25a2-252a+648

9

=4，解得a₁=4.08，a₂=6（均不合題意，舍去）；
當(dāng)PM=PN時(shí)，

25a2-252a+648

9

=（

30-5a

3

）²，解得a=5.25；
當(dāng)PN=MN時(shí)，

30-5a

3

=2，解得a=4.8．
綜上可知，存在點(diǎn)M，能夠使△MNP為等腰三角形，此時(shí)滿足要求的a的值為4.08或4.8或5.25．