Question

（2013•松北區(qū)三模）如圖，直線y=-2x+5分別與x、y軸交于點(diǎn)A、B，經(jīng)過點(diǎn)C（-2，0）的直線y=x+b與y軸交于點(diǎn)D，且直線AB、CD交于點(diǎn)E．
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)Q（m，n）為線段AB上一點(diǎn)（與點(diǎn)E不重合），QM∥x軸，交直線CE于點(diǎn)M，設(shè)線段QM的長為d，寫出d與m的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出相應(yīng)m的取值范圍）．
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)E關(guān)于直線QM的對稱點(diǎn)為F，當(dāng)BFC=90°時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把C的坐標(biāo)代入y=x+b即可求得b的值，然后解直線AB與CD的解析式組成的方程組即可求解；
（2）根據(jù)M、Q的縱坐標(biāo)相等，則橫坐標(biāo)的差的絕對值就是MQ的長，可以分M在兩直線交點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)兩種情況進(jìn)行討論求解；
（3）過點(diǎn)F作GH⊥x軸于點(diǎn)H，作BG⊥GH于點(diǎn)G，設(shè)F（1，k），根據(jù)△BGH∽△FHC，相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可得到一個k的方程，從而求得k的值，得到M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)C（-2，0）
∴0=-2+b    b=2
由

y=-2x+5 y=x+2

 得

x=1 y=3

∴E（1，3）；

（2）∵點(diǎn)Q（m，n）為線段AB上一點(diǎn)，
∴n=-2m+5
如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在BE上時，即0＜m＜1
∵QM∥x軸∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為n，將y=n代入y=x+2=n  
解得：x=n-2
∴M（n-2，n）
QM=n-2-m=-2m+5-2-m=-3m+3（0＜m＜1）；
如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在AE上時，即1＜m＜2.5
QM=3m-3（1＜m＜2.5）．

（3）如圖，過點(diǎn)F作GH⊥x軸于點(diǎn)H，作BG⊥GH于點(diǎn)G．
∵△BGH∽△FHC
∴BG：FH=GF：CH
∵點(diǎn)E、點(diǎn)F關(guān)于直線QM的對稱，
∴設(shè)F（1，k）則BG=1，GF=5-k，F(xiàn)H=k，CH=3
1：k=（5-k）：3   即k²-5k+3=0   
解得：k=

5± 13

2

n=

5± 13 2 +3

2

=

11± 13

4

，M（

3- 13

4

，

11- 13

4

）或M（

3+ 13

4

，

11+ 13

4

）．

點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)與相似三角形的性質(zhì)以及對稱的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．