Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C（0，3），點B坐標是（3，0），設拋物線的頂點為點D．

（1）求此拋物線的解析式與對稱軸；
（2）作直線BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為直線BC上方的二次函數(shù)上一個動點（且點P與點B，C不重合），過點P作PF∥DE交直線BC于點F，設點P的橫坐標為m；
①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，四邊形PDEF為平行四邊形？
②設△PBC的面積為S，求S與m的函數(shù)關系式．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求出此時P點坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點C（0，3）、B（3，0）代入拋物線的解析式得： ，

解得： ，

拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

∵x=﹣ ，

∴x=﹣ =1．

∴拋物線的對稱軸為x=1

（2）

解：①如圖1所示：

∵將x=1代入得拋物線的解析式得y=4．

∴點D的坐標為（1，4）．

設直線BC的解析式為ykx+b，將點B、C的坐標代入得： ，

解得： ．

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．

將x=1代入y=﹣x+3得：y=﹣1+3=2．

∴點E的坐標為（1，2）．

∴DE=2．

∵點P的橫坐標為m，

∴yp=﹣m2+2m+3，yF=﹣m+3．

∴PF=yp﹣yF=﹣m2+3m．

∵四邊形PDEF為平行四邊形，

∴PF=DE=2，即﹣m2+3m=2．

解得：m=2或m=1（舍去）．

∴當m=2時，四邊形PDEF為平行四邊形．

②存在：

理由：如圖2所示：

= =﹣ （m2﹣3m）=﹣ + ．

當m= 時，△PBC的面積由最大值，最大值為 ．

∵將x= 代入拋物線的解析式得：y= ．

∴點P的坐標為（ ， ）

【解析】（1）將點C（0，3）、B（3，0）代入拋物線的解析式可求得得： ，從而求得拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，由x=﹣ 可求得拋物線的對稱軸方程為x=1；（2）①如圖1所示：先求得點D的坐標，然后依據(jù)待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y=﹣x+3，將x=1代入y=﹣x+3得y=2，從而得到ED=2，由點P的橫坐標為m，可求得yp=﹣m2+2m+3，yF=﹣m+3．故此PF=yp﹣yF=﹣m2+3m．當PF=DE=2時四邊形PDEF為平行四邊形，從而可求得m=2；
②由 可知S=﹣ + ，故此可知當m= 時，最大值為 ．將x= 代入拋物線的解析式得：y= ．故此可知點P的坐標為（ ， ）．
【考點精析】關于本題考查的函數(shù)關系式和二次函數(shù)的圖象，需要了解用來表示函數(shù)關系的數(shù)學式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關系式；二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點才能得出正確答案．