Question

如圖，在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4，BC=3，DE∥AB與AC、BC分別相交于D、E，CF⊥DE于F，G為AB上任意一點，設CF=x，△DEG的面積為y，當DE在△ABC的內部平行移動時，
（1）求x的取值范圍；
（2）求函數(shù)y與自變量x的函數(shù)關系式；
（3）當DE取何值時，△DEG的面積最大，并求其最大值．

Answer 1

分析：（1）易得AB長，以及AB邊上的高．那么CF最小應大于0，最大不會超過AB邊上的高．
（2）由DE∥AB可知∠CED=∠B，利用平行可得到△CDE∽△CAB，進而求得DE長，而DE邊上的高等于2.4-CF，根據(jù)三角形的面積公式，可求出y，x的函數(shù)關系式．
（3）結合（2）的結論，利用二次函數(shù)的最值求解．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=4，BC=3
∴AB=

AC2+BC2

=5
∴AB邊上的高=AC×BC÷AB=2.4
∴0＜x＜2.4

（2）∵DE∥AB
∴△CDE∽△CAB
∴DE：AB=CF：2.4
∴DE=

25

12

x
∴y=

1

2

×

25

12

x×（2.4-x）=-

25

24

x²+

5

2

x（0＜x＜2.4）

（3）由（2）知：y=

25

24

（x-

6

5

）²+

3

2

；因此當x=

6

5

時，y值最大，且最大值為1.5
所以當DE=

25

12

x=

25

12

×

6

5

=

5

2

時，△DEG的面積最大，最大值為1.5．

點評：本題主要考查了相似三角形的性質，以及直角三角形面積的不同表示方法．