Question

如圖，在正方形ABCD中，AB=1，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，連接EF、AE、AF，過A作AH⊥EF于點H．若EF=BE+DF，那么下列結(jié)論：①AE平分∠BEF；②FH=FD；③∠EAF=45°；④S_△EAF=S_△ABE+S_△ADF；⑤△CEF的周長為2．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A．2
B．3
C．4
D．5

Answer 1

【答案】分析：把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90度，得到△ADG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABE≌△ADG，再利用SSS證明△AGF≌△AEF，進(jìn)而得出③正確；
由△AGF≌△AEF，得出∠1=∠2，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出AD=AH，則AH=AB，再由角平分線的判定得出AE平分∠BEF，故①正確；
由AE平分∠BEF及等角的余角相等得出∠BAE=∠HAE，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出BE=HE，再結(jié)合已知條件EF=BE+DF及BE=DG即可得出FH=FD，故②正確；
根據(jù)△AEF≌△AGF，△ABE≌△ADG，即可得出S_△EAF=S_△ABE+S_△ADF，故④正確；
由EF=HE+FH，BE=HE，F(xiàn)H=FD，得出EF=BE+FD，則△CEF的周長=BC+CD，進(jìn)而求出△CEF的周長為2，故⑤正確．
解答：解：如圖：把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90度，得到△ADG，則△ABE≌△ADG，∠EAG=∠BAD=90°，
∴∠ABE=∠ADG=90°，AE=AG，BE=DG，
∴∠FDG=∠FDA+∠ADG=90°+90°=180°，
∴F、D、G三點共線．
∵EF=BE+DF，
∴EF=DG+DF=GF．
∵在△AGF與△AEF中，
，
∴△AGF≌△AEF（SSS），
∴∠GAF=∠EAF，∠1=∠2，
∵∠GAF+∠EAF=∠EAG=90°，
∴∠EAF=×90°=45°，故③正確；
∵∠1=∠2，AD⊥FG于D，AH⊥EF于H，
∴AD=AH，
∵AD=AB，
∴AH=AB，
又∵AH⊥EF于H，AB⊥BC于B，
∴AE平分∠BEF，故①正確；
∵AE平分∠BEF，
∴∠AEB=∠AEH，
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEH+∠HAE=90°，
∴∠BAE=∠HAE，
又∵EH⊥AH于H，EB⊥AB于B，
∴BE=HE，
∵BE=DG，
∴HE=DG，
∵EF=HE+FH，GF=DG+FD，EF=GF，
∴FH=FD，故②正確；
∵△AEF≌△AGF，
∴S_△EAF=S_△GAF．
∵△ABE≌△ADG，
∴S_△GAF=S_△ADG+S_△ADFS_△ABE+S_△ADF，
∴S_△EAF=S_△ABE+S_△ADF，故④正確；
∵EF=HE+FH，BE=HE，F(xiàn)H=FD，
∴EF=BE+FD，
∴△CEF的周長=EF+EC+CF=BE+FD+EC+CF=BC+CD=2AB=2，故⑤正確．
故選D．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線的判定與性質(zhì)，三角形的周長與面積，綜合性較強(qiáng)，難度適中，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出輔助線是解題的關(guān)鍵．