Question

如圖，一個半徑為r的⊙O與矩形ABCD的兩邊AB、BC都相切，BC=4．若將矩形的邊AD沿AE對折后和⊙O相切于點D′，折痕AE的長為5，則半徑r的值為

4

7

．

Answer 1

分析：由已知及折疊定理可得AD=AD'=BC=4，根據勾股定理可得D'E=3，即得DE=3，則用r表示出OE、OG及EG，再用勾股定理得出關于r的方程，從而求出半徑r的值．

解答：解：連接O與⊙O的切點F，并延長FO交CD與G，連接OD'，
∵一個半徑為r的⊙O與矩形ABCD的兩邊AB、BC都相切，BC=4．若將矩形的邊AD沿AE對折后和⊙O相切于點D′，折痕AE的長為5，
∴AD=AD'=BC=4，
DG=AF=AD'=4，
D'E=

AE2-AD′2

=

52-42

=3，
DE=D'E=3，
則OG=FG-OF=BC-OF=4-r，
OE=D'O+D'E=r+3，
EG=DG-DE=4-3=1，
在直角三角形OGE中，由勾股定理得：
OE²=EG²+OG²，
即（r+3）²=1²+（4-r）²，
解得：r=

4

7

，
所以半徑r的值為

4

7

．
故答案為：

4

7

．

點評：此題考查的知識點是切線的性質、矩形的性質即折疊定理，關鍵是根據已知和折疊定理用r表示出OE、OG及EG，再用勾股定理求出r．