Question

【題目】如圖1，已知拋物線與軸交于點，與軸交于點．

　　　

（1）求，的值；

（2）點是第一象限拋物線上一動點，過點作軸的垂線，交于點．當(dāng)△為等腰三角形時，求點的坐標(biāo)；

（3）如圖2，拋物線頂點為，已知直線與二次函數(shù)圖象相交于，兩點．求證：無論為何值，△恒為直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標(biāo)，，；（3）見解析．

【解析】

（1）將點代入解析式中即可求出結(jié)論；

（2）利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，設(shè)點，則點 ，過點作于點，根據(jù)等腰三角形腰的情況分類討論，然后根據(jù)三線合一、等腰直角三角形的性質(zhì)列出方程即可求出結(jié)論；

（3）將二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式聯(lián)立，整理得，設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得則， ，，然后利用平面直角坐標(biāo)系中任意兩點之間的距離公式和勾股定理的逆定理即可證出結(jié)論．

解：（1）將點代入，

得，

解得，

∴；

（2）設(shè)直線的解析式為，

將點代入，

得，，

∴直線的解析式為，

設(shè)點，則點 ，

過點作于點，

①當(dāng)時，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即，

解得，（舍去），，

∴；

②當(dāng)時，

，

解得

∴

③當(dāng)時，此時點P和點M重合

，

解得

∴

綜上所述點的坐標(biāo)，，；

（3）將二次函數(shù)與直線的表達(dá)式聯(lián)立并整理得：，

設(shè)點的坐標(biāo)為，

則，

則 ，

同理：，

點的坐標(biāo)為，，點，

∴

即：為直角三角形．