Question

【題目】△ABC是一個三角形的紙片，點D，E分別是△ABC邊AB，AC上的兩點．

(1)如圖①，如果沿直線DE折疊，則∠BDA′與∠A的關系是____________；

(2)如果折成圖②的形狀，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的關系，并說明理由；

(3)如果折成圖③的形狀，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠BDA′＝2∠A；（2）∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A，理由見解析；（3）∠BDA′－∠CEA′＝2∠A，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）由折疊可得∠DA′A＝∠A，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠BDA′＝∠DA′A+∠A =2∠A；（2）∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A，在四邊形ADA′E中，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°可得∠A＋∠A′＋∠ADA′＋∠A′EA＝360°，即∠A＋∠A′＝360°－∠ADA′－∠A′EA.又因∠BDA′＋∠ADA′＝180°，∠CEA′＋∠A′EA＝180°，所以∠BDA′＋∠CEA′＝360°－∠ADA′－∠A′EA，即可得∠BDA′＋∠CEA′＝∠A＋∠A′.再由折疊的性質(zhì)可得∠A＝∠A′，所以∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A.（3）∠BDA′－∠CEA′＝2∠A，設DA′交AC于點F，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠BDA′＝∠A＋∠DFA，∠DFA＝∠A′＋∠CEA′，即可得∠BDA′＝∠A＋∠A′＋∠CEA′，所以∠BDA′－∠CEA′＝∠A＋∠A′.再由折疊的性質(zhì)可得∠A＝∠A′，所以∠BDA′－∠CEA′＝2∠A.

試題解析：

(1)∠BDA′＝2∠A

(2)∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A，

理由：∵在四邊形ADA′E中，

∠A＋∠A′＋∠ADA′＋∠A′EA＝360°，

∴∠A＋∠A′＝360°－∠ADA′－∠A′EA.

∵∠BDA′＋∠ADA′＝180°，∠CEA′＋∠A′EA＝180°，

∴∠BDA′＋∠CEA′＝360°－∠ADA′－∠A′EA，

∴∠BDA′＋∠CEA′＝∠A＋∠A′.

∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，

∴∠A＝∠A′，∴∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A.

(3)∠BDA′－∠CEA′＝2∠A.

理由：設DA′交AC于點F，

∵∠BDA′＝∠A＋∠DFA，∠DFA＝∠A′＋∠CEA′，

∴∠BDA′＝∠A＋∠A′＋∠CEA′，

∴∠BDA′－∠CEA′＝∠A＋∠A′.

∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，

∴∠A＝∠A′，

∴∠BDA′－∠CEA′＝2∠A.