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        1. 【題目】中點(diǎn)、平行線、等腰直角三角形、等邊三角形都是常見(jiàn)的幾何圖形!

          (1)如圖1,若點(diǎn)D為等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)E、F分別在AB、AC邊上,且EDF=90°,連接AD、EF,當(dāng)BC=5,F(xiàn)C=2時(shí),求EF的長(zhǎng)度;

          (2)如圖2,若點(diǎn)D為等邊三角形ABC邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)E、F分別在AB、AC邊上,且EDF=90°;M為EF的中點(diǎn),連接CM,當(dāng)DFAB時(shí),證明:3ED=2MC;

          (3)如圖3,若點(diǎn)D為等邊三角形ABC邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)E、F分別在AB、AC邊上,且EDF=90°;當(dāng)BE=6,CF=0.8時(shí),直接寫(xiě)出EF的長(zhǎng)度.

          【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)

          【解析】

          試題分析:(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),證得ADE≌△CDF,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等,求得AE=CF=2,最后在在RtAEF中根據(jù)勾股定理求得EF的長(zhǎng);

          (2)先設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為2,在RtBDE中求得DE的長(zhǎng),再根據(jù)CM垂直平分DF,在RtCDN中求得CN,在RtMND中求得MN的長(zhǎng),最后根據(jù)CM與DE的長(zhǎng)度之比求得3ED=2MC;

          (3)先延長(zhǎng)FD至G,使得FD=FG,連接EG,BG,過(guò)E作EHBG于點(diǎn)H,根據(jù)BDG≌△CDF得到BG=CF=0.8,進(jìn)而在RtBEH中求得HE,在RtEHG中求得EG,最后根據(jù)ED垂直平分FG,即可得出EF的長(zhǎng)度.

          試題解析:(1)如圖1點(diǎn)D為等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點(diǎn)

          ADBC,AD=BC=CD=,DAE=C=45°AC=CD=5,又∵∠EDF=90°,F(xiàn)C=2

          ∴∠ADE=CDF,AF=52=3

          ADE和CDF中

          ∴△ADE≌△CDF(ASA),AE=CF=2,在RtAEF中,EF==

          (2)設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為2,則BD=CD=1,

          等邊三角形ABC中,DFAB

          ∴∠FDC=B=60°

          ∵∠EDF=90°

          ∴∠BDE=30°

          DEBE

          BE=,DE=

          如圖2,連接DM,則RtDEF中,DM=EF=FM

          ∵∠FDC=FCD=60°

          ∴△CDF是等邊三角形

          CD=CF=1

          CM垂直平分DF

          ∴∠DCN=30°

          RtCDN中,DN=,CN=,DF=1

          在RtDEF中,EF==

          M為EF的中點(diǎn)

          FM=DM=

          RtMND中,MN=

          CM=+=

          ==

          3ED=2MC

          (3)如圖3,延長(zhǎng)FD至G,使得FD=DG,連接EG,BG,則ED垂直平分FG,故EF=EG

          由BD=CD,BDG=CDF,DF=DG可得:BDG≌△CDF

          ∴∠GBD=C=60°,BG=CF=0.8

          ∴∠EBG=60°+60°=120°

          ∴∠EBH=60°

          過(guò)E作EHBG于點(diǎn)H,則BH=BE=3

          RtBEH中,HE==

          RtEHG中,EG==

          EF的長(zhǎng)度為

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