Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，連接AC，將△ACE沿AC翻折得到△ACF，直線FC與直線AB相交于點G．

（1）直線FC與⊙O有何位置關(guān)系？并說明理由；

（2）若OB=BG=2，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）直線FC與⊙O相切．理由見試題解析；（2）CD=2CE=2

【解析】

試題分析：（1）相切．連接OC，證OC⊥FG即可．根據(jù)題意AF⊥FG，證∠FAC=∠ACO可得OC∥AF，從而OC⊥FG，得證；

（2）根據(jù)垂徑定理可求CE后求解．在Rt△OCG中，根據(jù)三角函數(shù)可得∠COG=60°．結(jié)合OC=2求CE，從而得解．

試題解析：（1）直線FC與⊙O相切．

理由如下：連接OC．

∵OA=OC，∴∠1=∠2．由翻折得，∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°．∴∠2=∠3，∴OC∥AF．

∴∠OCG=∠F=90°．∴直線FC與⊙O相切．

（2）在Rt△OCG中，cos∠COG===，∴∠COG=60°．

在Rt△OCE中，CE=OC60°=2×=．∵直徑AB垂直于弦CD，CD=2CE=2．