Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）．圖象的頂點(diǎn)為D，其圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-1、3，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．下面四個(gè)結(jié)論：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③只有當(dāng)a=

1

2

時(shí)，△ABD是等腰直角三角形；④使△ACB為等腰三角形的a的值可以有三個(gè)．那么，其中正確的結(jié)論是

 

．（只填你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)）  
（注：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）

Answer 1

分析：先根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為-1，3確定出AB的長(zhǎng)及對(duì)稱軸，再由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．

解答：解：①∵圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為-1，3，
∴AB=4，
∴對(duì)稱軸x=-

b

2a

=1，
即2a+b=0．
故選項(xiàng)正確；
②由拋物線的開口方向向上可推出a＞0，而-

b

2a

=1，
∴b＜0，
∵對(duì)稱軸x=1，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y＜0，
∴a+b+c＜0．故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③要使△ABD為等腰直角三角形，必須保證D到x軸的距離等于AB長(zhǎng)的一半；
D到x軸的距離就是當(dāng)x=1時(shí)y的值的絕對(duì)值．
當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c，
即|a+b+c|=2，
∵當(dāng)x=1時(shí)y＜0，
∴a+b+c=-2，
又∵圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為-1，3，
∴當(dāng)x=-1時(shí)y=0，即a-b+c=0，
x=3時(shí)y=0，即9a+3b+c=0，
解這三個(gè)方程可得：b=-1，a=

1

2

，c=-

3

2

．
故選項(xiàng)正確；
④要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，
當(dāng)AB=BC=4時(shí)，
∵BO=3，△BOC為直角三角形，
又∵OC的長(zhǎng)即為|c|，
∴c²=16-9=7，
∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，
∴c=-

7

，
與2a+b=0、a-b+c=0聯(lián)立組成解方程組，解得a=

7

3

；
同理當(dāng)AB=AC=4時(shí)，
∵AO=1，△AOC為直角三角形，
又∵OC的長(zhǎng)即為|c|，
∴c²=16-1=15，
∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，
∴c=-

15

，
與2a+b=0、a-b+c=0聯(lián)立組成解方程組，解得a=

15

3

；
同理當(dāng)AC=BC時(shí)，
在△AOC中，AC²=1+c²，
在△BOC中BC²=c²+9，
∵AC=BC，
∴1+c²=c²+9，此方程無解．
經(jīng)解方程組可知只有兩個(gè)a值滿足條件．
故應(yīng)填：①③．

點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c系數(shù)符號(hào)的確定：
（1）a由拋物線開口方向確定：開口方向向上，則a＞0；否則a＜0；
（2）b由對(duì)稱軸和a的符號(hào)確定：由對(duì)稱軸公式x=-

b

2a

判斷符號(hào)；
（3）c由拋物線與y軸的交點(diǎn)確定：交點(diǎn)在y軸正半軸，則c＞0；否則c＜0；
（4）b²-4ac由拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定：
①2個(gè)交點(diǎn)，b²-4ac＞0；
②1個(gè)交點(diǎn)，b²-4ac=0；
③沒有交點(diǎn)，b²-4ac＜0．