Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中點，DE的延長線與BC的延長線交于點F．
（1）求證：

FD

FC

=

BD

DC

；
（2）若

BC

FC

=

5

4

，求

BD

DC

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出DE=EC，推出∠EDC=∠ECD，求出∠FDC=∠B，根據(jù)∠F=∠F證△FBD∽△FDC，
即可；
（2）根據(jù)已知和三角形面積公式得出

S△BDC

S△FDC

=

5

4

，

S△BDF

S△FDC

=

9

4

，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方得出

S△BDF

S△FDC

=(

BD

DC

)2=

9

4

，即可求出

BD

DC

．

解答：（1）證明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵E是AC的中點，
∴DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠ACB=90°，∠BDC=90°
∴∠ECD+∠DCB=90°，∠DCB+∠B=90°，
∴∠ECD=∠B，
∴∠FDC=∠B，
∵∠F=∠F，
∴△FBD∽△FDC，
∴

FD

FC

=

BD

DC

．

（2）解：∵

BC

FC

=

5

4

，
∴

S△BDC

S△FDC

=

5

4

，
∴

S△BDF

S△FDC

=

9

4

，
∵△FBD∽△FDC，
∴

S△BDF

S△FDC

=(

BD

DC

)2=

9

4

，
∴

BD

DC

=

3

2

．

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，注意：相似數(shù)據(jù)線的面積比等于相似比的平方，題目比較好，有一定的難度．