Question

如圖，△AOB中，OA=OB，以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過△AOB的邊AB的中點(diǎn)C，與OB相交于點(diǎn)D．
（1）求證：⊙O與AB相切．
（2）若⊙O的半徑為1，OD=BD，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）由OA=OB，AC=BC，即可推出OC⊥AB，即AB是⊙O的切線；
（2）根據(jù)三角函數(shù)公式及勾股定理求得∠A=30°，OC=2，又因?yàn)镺A=OB，從而得出∠AOB=120°，由三角形面積及扇形面積可求出陰影部分面積．

解答：（1）證明：連接OC．
∵OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切線．

（2）解：過B點(diǎn)作BF⊥AO，交AO的延長線于F點(diǎn)．
∵BF⊥AF，OF=OD，DO=BD，
∴∠FBO=30°，
∴∠FOB=60°，
∵AO=BO，
∴∠A=∠ABO=30°，
∴由題意有AB=2BF，
∵BF=

3

∴AB=2

3

，
∵OA=OB，且∠A=30°，
∴∠AOB=120°，
∴S_陰影=

1

2

（S_△OAB-S_扇形0ED）=

1

2

（2

3

×1÷2-

120π×12

360

）=

3

2

-

π

6

．

點(diǎn)評：此題考查了切線的判定以及扇形的面積求法，學(xué)生靈活的對切線的判定弧長公式及解直角三角形的綜合運(yùn)用是解題關(guān)鍵．