Question

（2012•新鄉(xiāng)模擬）如圖，△ABC中AB=6cm，BC=4cm，∠B=60°．動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別沿AB，BC方向勻速移動(dòng)．它們的速度分別為2cm/s和1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？
（2）設(shè)四邊形APQC的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形APQC的面積最小，并求出最小面積．

Answer 1

分析：（1）用t表示出AP、BQ、BP，然后分①∠BQP=90°，②∠BPQ=90°兩種情況，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半列式計(jì)算即可得解；
（2）過(guò)P作PM⊥BC于M，求出PM的長(zhǎng)度，然后表示出△PBQ的面積，在過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC于N，然后求出AN的長(zhǎng)度，再求出△ABC的面積，然后根據(jù)S_{四邊形APQC}=S_△ABC-S_△PBQ整理即可得到y(tǒng)與t的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題求出t的值，即可得到點(diǎn)P得到位置．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得AP=2tcm，BQ=tcm，
∵AB=6cm，
∴BP=（6-2t） cm，
若△PBQ是直角三角形，則∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
①當(dāng)∠BQP=90°時(shí)，∵∠B=60°，
∴∠BPQ=90°-60°=30°，
∴BQ=

1

2

BP，
即t=

1

2

（6-2t），
解得t=

3

2

（秒）．
②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，∵∠B=60°，
∴∠BQP=90°-60°=30°，
∴BP=

1

2

BQ，
即6-2t=

1

2

t，
解得t=

12

5

（秒），
答：當(dāng)t=

3

2

秒或t=

12

5

秒時(shí)，△PBQ是直角三角形；

（2）過(guò)P作PM⊥BC于M，
則Rt△PBM中，sinB=

PM

PB

，
∴PM=PB•sin60°=

3

2

（6-2t）=

3

（3-t），
S_△PBQ=

1

2

BQ•PM=

1

2

t•

3

（3-t），
過(guò)A作AN⊥BC于N，
則Rt△ABN中，sinB=

AN

AB

，
∴AN=AB•sin60°=6×

3

2

=3

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AN=

1

2

×4×3

3

=6

3

，
∴y=S_△ABC-S_△PBQ=6

3

-

1

2

t•

3

（3-t）=

3

2

t²-

3 3

2

t+6

3

，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=

3

2

t²-

3 3

2

t+6

3

，
又∵y=

3

2

t²-

3 3

2

t+6

3

=

3

2

（t-

3

2

）²+

39 3

8

，
∴當(dāng)t=

3

2

時(shí)，即AP=2t=3（cm），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形APQC的面積最小，其最小面積為

39 3

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題型，主要利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，解直角三角形，（1）要注意分情況討論，（2）根據(jù)四邊形APQC的面積等于兩個(gè)三角形的面積的差列式是解題的關(guān)鍵，也是常用的方法之一．