Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O與AC交于點D，過D作DF⊥BC， 交AB的延長線于E，垂足為F．

(1)求證：直線DE是⊙O的切線；

(2)當(dāng)AB＝5，AC＝8時，求cosE的值．

Answer 1

【答案】（1）證OD⊥DE即可．（2）cosE=

【解析】

試題如圖，在△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O與AC交于點D，過D作DF⊥BC， 交AB的延長線于E，垂足為F．

(1)連結(jié)OD．易知OA=OD=r，且AB＝BC，∴∠OAD=∠ODA=∠C

所以OD∥CB．所以∠ODE=∠BFE=90°．所以OD⊥DE，垂足為D．

所以直線DE是⊙O的切線．

(2)當(dāng)AB＝5，AC＝8時，求cosE的值．

解：連結(jié)BD．由（1）知OD⊥DE，又因為∠ADB=90°（直徑所對圓周角）

所以∠ADO+∠ODB=∠ODB+∠BDE．因為OD∥CB，則∠ODB=∠DBO=∠DBF

所以Rt△ADB∽Rt△DFB．則，已知AB=BC，BD⊥AC．所以AD=AC=4.

所以在Rt△ADB中，BD=3.故3×3=5×BF，解得BF=．易知Rt△EDO∽Rt△EFB

則，解得BE=

所以在Rt△EFB中，cosE＝