Question

如圖，直線(xiàn)PM切⊙O于點(diǎn)M，直線(xiàn)PO交⊙O于A、B兩點(diǎn)，弦AC∥PM，連接OM、BC．
求證：（1）△ABC∽△POM；（2）2OA²=OP•BC．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)镻M切⊙O于點(diǎn)M，所以∠PMO=90°，又因?yàn)橄褹B是直徑，所以∠ACB=∠PMO=90°，再有條件弦AC∥PM，可證得∠CAB=∠P，進(jìn)而可證得△ABC∽△POM；
（2）由（1）可得

AB

PO

=

BC

OM

，又因?yàn)锳B=2OA，OA=OM；所以2OA²=OP•BC．

解答：證明：（1）∵直線(xiàn)PM切⊙O于點(diǎn)M，
∴∠PMO=90°，
∵弦AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠PMO，
∵AC∥PM，
∴∠CAB=∠P，
∴△ABC∽△POM；

（2）∵△ABC∽△POM，
∴

AB

PO

=

BC

OM

，
又AB=2OA，OA=OM，
∴

2OA

PO

=

BC

OA

，
∴2OA²=OP•BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)：①圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)；③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心和相似和圓有關(guān)的知識(shí)，具有一定的綜合性．