Question

如圖1，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心的⊙O與AB邊相切于點(diǎn)D．

（1）判斷AC邊與⊙O的位置關(guān)系，說(shuō)明理由；

（2）如圖2，若AB=5，BC=6，點(diǎn)F為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作⊙O的切線分別交AD邊、AC邊于點(diǎn)G、H，連結(jié)OG、OH．

①設(shè)∠BAC=α，則∠GOH=　　　　　　（用含α的代數(shù)式表示）；

②若△OGH是以GH為腰的等腰三角形，求BG的長(zhǎng)．

Answer 1

【考點(diǎn)】圓的綜合題．

【專(zhuān)題】綜合題．

【分析】（1）作OE⊥AC于E，連結(jié)OA、OD，如圖1，先利用切線的性質(zhì)得OD⊥AB，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由AB=AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)得到AO平分∠BAC，則利用角平分線的性質(zhì)得到OE=OD，于是可根據(jù)切線的判定方法得到AC為⊙O的切線；

（2）①作OE⊥AC于E，BM⊥AC于M，連結(jié)OF、OD，如圖2，由切線的性質(zhì)得OF⊥GH，由切線長(zhǎng)定理得GD=GF，HF=HE，于是可根據(jù)角平分線定理的逆定理得∠DOG=∠FOG，∠EOH=∠FOH，則∠GOH=∠DOE，再由四邊形內(nèi)角和得到∠DOE+∠A=180°，所以∠GOEH=90°﹣α；

②在圖1中，AB=5，OB=OC=BC=3，利用勾股定理和面積法先計(jì)算出OA=5，OD=，BD=，BM=，AM=，接著分類(lèi)討論：當(dāng)GH=GO時(shí)，∠GHO=∠GOH=90°﹣α，則∠OGH=α，于是可判斷Rt△OGF∽R(shí)t△BAM，利用相似比可計(jì)算出GF=，則DG=GF=，所以BG=BD+DG=；當(dāng)GH=OH時(shí)，同樣可證明Rt△OHF∽R(shí)t△BAM，利用相似比可計(jì)算出FH=，OH=，則GH=OH=，所以GF=GH﹣FH==DG，則BG=BD+DG=．

【解答】解：（1）AC邊與⊙O相切．理由如下：

作OE⊥AC于E，連結(jié)OA、OD，如圖1，

∵以O(shè)為圓心的⊙O與AB邊相切于點(diǎn)D，

∴OD⊥AB，

∵AB=AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，

∴AO平分∠BAC，

∴OE=OD，

∴AC為⊙O的切線；

（2）①作OE⊥AC于E，BM⊥AC于M，連結(jié)OF、OD，如圖2，

∵GH為⊙O的切線，

∴OF⊥GH，

∵AB和AC為⊙O的切線，

∴GD=GF，HF=HE，

∴∠DOG=∠FOG，∠EOH=∠FOH，

∴∠GOH=∠DOE，

∵∠DOE+∠A=180°，

∴∠GOEH=（180°﹣α）=90°﹣α，

故答案為90°﹣α；

②在圖1中，AB=5，OB=OC=BC=3，則OA==5，

∵OD•AB=OB•OA，

∴OD==，

在Rt△BOD中，BD===，

在圖2中，

∵BM•AC=BC•OA，

∴BM==，

在Rt△ABM中，AM===，

當(dāng)GH=GO時(shí)，∠GHO=∠GOH=90°﹣α，

∴∠OGH=180°﹣2（90°﹣α）=α，

∴Rt△OGF∽R(shí)t△BAM，

∴=，即=，解得GF=，

∴DG=GF=，

∴BG=BD+DG=+=；

當(dāng)GH=OH時(shí)，∠GHO=∠GOH=90°﹣α，則∠OHG=α，

∴Rt△OHF∽R(shí)t△BAM，

∴==，即==，解得FH=，OH=

∴GH=OH=，

∴GF=GH﹣FH=﹣=，

∴DG=GF=，

∴BG=BD+DG=+=，

綜上所述，BG的長(zhǎng)為或．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A的切線的判定與性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理和等腰三角形的性質(zhì)；會(huì)利用相似比和勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)；會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．