如圖1,△ABC中,AB=AC,點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),以O(shè)為圓心的⊙O與AB邊相切于點(diǎn)D.
(1)判斷AC邊與⊙O的位置關(guān)系,說(shuō)明理由;
(2)如圖2,若AB=5,BC=6,點(diǎn)F為⊙O上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作⊙O的切線分別交AD邊、AC邊于點(diǎn)G、H,連結(jié)OG、OH.
①設(shè)∠BAC=α,則∠GOH= (用含α的代數(shù)式表示);
②若△OGH是以GH為腰的等腰三角形,求BG的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】圓的綜合題.
【專題】綜合題.
【分析】(1)作OE⊥AC于E,連結(jié)OA、OD,如圖1,先利用切線的性質(zhì)得OD⊥AB,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),由AB=AC,點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)得到AO平分∠BAC,則利用角平分線的性質(zhì)得到OE=OD,于是可根據(jù)切線的判定方法得到AC為⊙O的切線;
(2)①作OE⊥AC于E,BM⊥AC于M,連結(jié)OF、OD,如圖2,由切線的性質(zhì)得OF⊥GH,由切線長(zhǎng)定理得GD=GF,HF=HE,于是可根據(jù)角平分線定理的逆定理得∠DOG=∠FOG,∠EOH=∠FOH,則∠GOH=∠DOE,再由四邊形內(nèi)角和得到∠DOE+∠A=180°,所以∠GOEH=90°﹣
α;
②在圖1中,AB=5,OB=OC=BC=3,利用勾股定理和面積法先計(jì)算出OA=5,OD=
,BD=
,BM=
,AM=
,接著分類討論:當(dāng)GH=GO時(shí),∠GHO=∠GOH=90°﹣
α,則∠OGH=α,于是可判斷Rt△OGF∽R(shí)t△BAM,利用相似比可計(jì)算出GF=
,則DG=GF=
,所以BG=BD+DG=
;當(dāng)GH=OH時(shí),同樣可證明Rt△OHF∽R(shí)t△BAM,利用相似比可計(jì)算出FH=
,OH=
,則GH=OH=
,所以GF=GH﹣FH=
=DG,則BG=BD+DG=
.
【解答】解:(1)AC邊與⊙O相切.理由如下:
作OE⊥AC于E,連結(jié)OA、OD,如圖1,
∵以O(shè)為圓心的⊙O與AB邊相切于點(diǎn)D,
∴OD⊥AB,
∵AB=AC,點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),
∴AO平分∠BAC,
∴OE=OD,
∴AC為⊙O的切線;
(2)①作OE⊥AC于E,BM⊥AC于M,連結(jié)OF、OD,如圖2,
∵GH為⊙O的切線,
∴OF⊥GH,
∵AB和AC為⊙O的切線,
∴GD=GF,HF=HE,
∴∠DOG=∠FOG,∠EOH=∠FOH,
∴∠GOH=∠DOE,
∵∠DOE+∠A=180°,
∴∠GOEH=(180°﹣α)=90°﹣
α,
故答案為90°﹣α;
②在圖1中,AB=5,OB=OC=BC=3,則OA=
=5,
∵OD•AB=
OB•OA,
∴OD==
,
在Rt△BOD中,BD==
=
,
在圖2中,
∵BM•AC=
BC•OA,
∴BM==
,
在Rt△ABM中,AM==
=
,
當(dāng)GH=GO時(shí),∠GHO=∠GOH=90°﹣α,
∴∠OGH=180°﹣2(90°﹣α)=α,
∴Rt△OGF∽R(shí)t△BAM,
∴=
,即
=
,解得GF=
,
∴DG=GF=,
∴BG=BD+DG=+
=
;
當(dāng)GH=OH時(shí),∠GHO=∠GOH=90°﹣α,則∠OHG=α,
∴Rt△OHF∽R(shí)t△BAM,
∴=
=
,即
=
=
,解得FH=
,OH=
∴GH=OH=,
∴GF=GH﹣FH=﹣
=
,
∴DG=GF=,
∴BG=BD+DG=+
=
,
綜上所述,BG的長(zhǎng)為或
.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題:熟練掌握?qǐng)A的切線的判定與性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理和等腰三角形的性質(zhì);會(huì)利用相似比和勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng);會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,寫出一個(gè)函數(shù),使它的圖像與正方形OABC的邊有公共點(diǎn),這個(gè)函數(shù)的解析式可以是 .
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小偉擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,骰子的六個(gè)面上分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù),下列事件是隨機(jī)事件的是( )
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B.?dāng)S一次骰子,在骰子向上的一面上的點(diǎn)數(shù)為7
C.?dāng)S三次骰子,在骰子向上的一面上的點(diǎn)數(shù)之和剛好為18
D.?dāng)S兩次骰子,在骰子向上的一面上的點(diǎn)數(shù)之積剛好是11
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“搶紅包”是2015年春節(jié)十分火爆的一項(xiàng)網(wǎng)絡(luò)活動(dòng),某企業(yè)有4000名職工,從中隨機(jī)抽取350人,按年齡分布和對(duì)“搶紅包”所持態(tài)度情況進(jìn)行了調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪成了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.
(1)這次調(diào)查中,如果職工年齡的中位數(shù)是整數(shù),那么這個(gè)中位數(shù)所在的年齡段是哪一段?
(2)如果把對(duì)“搶紅包”所持態(tài)度中的“經(jīng)常(搶紅包)”和“偶爾(搶紅包)”統(tǒng)稱為“參與搶紅包”,那么這次接受調(diào)查的職工中“參與搶紅包”的人數(shù)是多少?
(3)請(qǐng)估計(jì)該企業(yè)“從不(搶紅包)”的人數(shù)是多少?
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如圖,已知反比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=x+b的圖象在第一象限相交于點(diǎn)A(1,﹣k+4).
(1)試確定這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;
(2)求出這兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo),并求△AOB的面積.
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