Question

拋物線過點(diǎn)，頂點(diǎn)為M點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）試判斷拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使∠POM＝90˚．若不存在，說明理由；若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）試判斷拋物線上是否存在一點(diǎn)K，使∠OMK＝90˚，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）存在．

【解析】

試題分析：（1）將A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c中，列方程組求a、b、c的值，得出拋物線解析式；

（2）拋物線上存在一點(diǎn)P，使∠POM=90˚．設(shè)（a，a²-4a），過P點(diǎn)作PE⊥y軸，垂足為E；過M點(diǎn)作MF⊥y軸，垂足為F，利用互余關(guān)系證明Rt△OEP∽R(shí)t△MFO，利用相似比求a即可；

（3）拋物線上必存在一點(diǎn)K，使∠OMK=90˚．過頂點(diǎn)M作MN⊥OM，交y軸于點(diǎn)N，在Rt△OMN中，利用互余關(guān)系證明△OFM∽△MFN，利用相似比求N點(diǎn)坐標(biāo)，再求直線MN解析式，將直線MN解析式與拋物線解析式聯(lián)立，可求K點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）根據(jù)題意，得

  

解得          

∴ 拋物線的解析式為．

（2）拋物線上存在一點(diǎn)P，使∠POM＝90˚．

x=，.

∴ 頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為．

設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)P，滿足OP⊥OM，其坐標(biāo)為．

過P點(diǎn)作PE⊥y軸，垂足為E；過M點(diǎn)作MF⊥y軸，垂足為F．

則 ∠POE＋∠MOF＝90˚，∠POE＋∠EPO＝90˚．

∴ ∠EPO＝∠FOM．

∵ ∠OEP＝∠MFO＝90˚，

∴ Rt△OEP∽R(shí)t△MFO． 

∴ OE∶MF=EP∶OF．

即．

解，得（舍去），．

∴ P點(diǎn)的坐標(biāo)為．       

（3）

過頂點(diǎn)M作MN⊥OM，交y軸于點(diǎn)N．則 ∠FMN＋∠OMF＝90˚．

∵ ∠MOF＋∠OMF＝90˚， 

∴ ∠MOF＝∠FMN． 

又∵ ∠OFM＝∠MFN＝90˚，

∴ △OFM∽△MFN． 

∴ OF∶MF＝MF∶FN． 即 4∶2＝2∶FN．∴ FN＝1．

∴ 點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，-5）．      

設(shè)過點(diǎn)M，N的直線的解析式為．

 解，得  直線的解析式為．

∴   把①代入②，得 ．

． 

∴ 直線MN與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)（其中一點(diǎn)為頂點(diǎn)M）．

∴ 拋物線上必存在一點(diǎn)K，使∠OMK＝90˚．

考點(diǎn)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵關(guān)鍵是通過已知三點(diǎn)求拋物線解析式，根據(jù)垂直關(guān)系證明三角形相似，得出線段長及點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線解析式及拋物線解析式求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．