Question

【題目】如圖，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A。過(guò)點(diǎn)P（1，m）作直線PM⊥軸于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)B，記點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C（點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合），連接CB，CP。

⑴當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及BC的長(zhǎng)；

⑵當(dāng)時(shí)，連接CA，當(dāng)CA⊥CP時(shí)，求的值；

⑶過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PC，且PE＝PC，問(wèn)是否存在m，使得點(diǎn)E恰好落在坐標(biāo)軸上，若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】⑴A（5，0） BC＝3;⑵⑶

【解析】試題分析：（1）把m=，代入拋物線的解析式，令y=0解方程，得到的解即為和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再求出拋物線的對(duì)稱軸方程，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H（如圖1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知條件證明△ACH∽△PCB，根據(jù)相似的性質(zhì)得到：，再用含有m的代數(shù)式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值；

（3）存在，本題要分當(dāng)m＞1時(shí)，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1和當(dāng)0＜m＜1時(shí)，BC=2（1-m），PM=m，BP=1-m，兩種情況分別討論，再求出滿足題意的m值和相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E坐標(biāo)．

試題解析：（1）當(dāng)m=時(shí)，y=-x2+5x；

令y=0，得-x2+5x=0．

∴x1=0，x2=5，

∴A（5，0）．

當(dāng)x=1時(shí)，y=4，

∴B（1，4）．

∵拋物線y=-x2+5x的對(duì)稱軸為直線x=，

又∵點(diǎn)B，C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴BC=3；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H（如圖）．

由已知得∠ACP=∠BCH=90°

∴∠ACH=∠PCB．

又∵∠AHC=∠PBC=90°，

tan∠ACH=tan∠PCB．

∴．

∵拋物線y=-x2+2mx的對(duì)稱軸為直線x=m，其中m＞1，

又∵B，C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴BC=2（m-1）．

∵B（1，2m-1），P（1，m），

∴BP=m-1．

又∵A（2m，0），C（2m-1，2m-1），

∴H（2m-1，0）．

∴AH=1，CH=2m-1．

∴，

∴m=；

（3）存在．

∵B，C不重合，

∴m≠1，分兩種情況：

①當(dāng)m＞1時(shí)，m=2，相對(duì)應(yīng)的E點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0）或（0，4）；

②當(dāng)0＜m＜1時(shí)，m=．，相對(duì)應(yīng)的E點(diǎn)坐標(biāo)是（，0）；

∴E點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0）或（0，4）或（，0）．