Question

（2011•閘北區(qū)二模）（1）如圖，給出四個(gè)條件：①AE平分∠BAD，②BE平分∠ABC，③AE⊥EB，④AB=AD+BC．請(qǐng)你以其中三個(gè)作為命題的條件，寫出一個(gè)能推出AD∥BC的正確命題，并加以證明；
（2）請(qǐng)你判斷命題“如圖，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，E是CD的中點(diǎn)，則AD∥BC．”是否正確，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明AD∥BC，無非是要證明∠D和∠C互補(bǔ)，可以通過構(gòu)建全等三角形來將∠D和∠C轉(zhuǎn)換成一組互補(bǔ)角．從而得出平行的結(jié)論．可在AB上取點(diǎn)M，使AM=AD，關(guān)鍵是證三角形AME，AED以及三角形MEB、BEC全等，那么缺什么條件，就選什么條件．
（2）不正確，根據(jù)（1）的推理過程，E是CD中點(diǎn)，是得不出兩三角形全等的．因此不正確．
解答：解：（1）如：①②④?AD∥BC．
證明：在AB上取點(diǎn)M，使AM=AD，
連接EM，∵AE平分∠BAD，
∴∠MAE=∠DAE．
又∵AM=AD，AE=AE，
∴△AEM≌△AED．
∴∠D=∠AME．
又∵AB=AD+BC，
∴MB=BC．
∴△BEM≌△BCE．
∠C=∠BME，
故∠D+∠C=∠AME+∠BME=180°．
∴AD∥BC．

（2）不正確．
作等邊三角形ABM，
AE平分∠BAM，BE平分∠ABM，
且AE、BE交于E，
連接EM，則EM⊥AB，
過E作ED∥AB交AM于D，交BM于C，
則E是CD的中點(diǎn)．
而AD和BC相交于點(diǎn)M．
∴命題：“AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，E是CD的中點(diǎn)，則AD∥BC”是不正確的．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定和平行線的判定，本題中通過全等三角形來得出角相等，是解題的關(guān)鍵．