Question

閱讀理解：給定一個(gè)矩形，如果存在另一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形的周長(zhǎng)和面積的一半，則這個(gè)矩形是給定矩形的“減半”矩形．如圖，矩形A₁B₁C₁D₁是矩形ABCD的“減半”矩形．

請(qǐng)你解決下列問題：
（1）當(dāng)矩形的長(zhǎng)和寬分別為1，2時(shí)，它是否存在“減半”矩形？請(qǐng)作出判斷，并請(qǐng)說明理由；
（2）邊長(zhǎng)為a的正方形存在“減半”正方形嗎？如果存在，求出“減半”正方形的邊長(zhǎng)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)存在，不妨設(shè)“減半”矩形的長(zhǎng)和寬分別為x、y，根據(jù)如果存在另一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形的周長(zhǎng)和面積的一半，可列出方程組求解．
（2）正方形和其他的正方形是相似圖形，周長(zhǎng)比是2，面積比就應(yīng)該是4，所以不存在“減半”正方形．

解答：解：（1）不存在．（1分）
假設(shè)存在，不妨設(shè)“減半”矩形的長(zhǎng)和寬分別為x、y，
則

x+y= 3 2 xy=1

，（3分）
由①得：y=

3

2

-x③，
把③代入②得：x²-

3

2

x+1=0，
b²-4ac=

9

4

-4＜0，（5分）
所以不存在；

（2）不存在．（6分）
因?yàn)閮蓚�(gè)正方形是相似圖形，當(dāng)它們的周長(zhǎng)比為

1

2

時(shí)，面積比必定是

1

4

，
所以正方形不存在“減半”正方形．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查反證法和相似圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵知道相似圖形的面積比，周長(zhǎng)比的關(guān)系．