Question

如圖，已知矩形ABCD的邊BC在x軸上，矩形ABCD對角線的交點E的橫坐標(biāo)為m（m＞0），且點A、E和點N（1，2）都在函數(shù)y=

k

x

的圖象上．
（1）求k的值；
（2）求點A的坐標(biāo)（用m表示）；
（3）當(dāng)滿足上述條件的矩形ABCD為正方形時，請求出此時m的值；
（4）點F在y軸的正半軸上，且OF=OB，在（3）的條件下，是否線段BC上存在點P，使PD=PF，若存在，求出符合條件的點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由N點坐標(biāo)易求k值；
（2）求E點坐標(biāo)，再根據(jù)矩形的性質(zhì)求A的坐標(biāo)；
（3）AB=BC，即A的縱坐標(biāo)與BC長相等，據(jù)此得方程求解；
（4）若PD=PF，則P為DF的垂直平分線與x軸的交點，根據(jù)題意在BC上，設(shè)其坐標(biāo)為P（x，0），用含x的式子表示PF、PD，得方程求解．

解答：解：（1）因為拋物線過N（1，2），所以k=2；

（2）∵E的橫坐標(biāo)為m（m＞0），
∴縱坐標(biāo)為

2

m

，根據(jù)矩形性質(zhì)，AB=

4

m

，即A點縱坐標(biāo)為

4

m

，代入y=

2

x

中，得x=

m

2

，
∴A（

m

2

，

4

m

）；

（3）根據(jù)上面的解題過程可得B（

m

2

，0），C（

3

2

m，0），BC=m，
∵AB=BC，∴

4

m

=m，解得m=±2，
∵m＞0，∴m=2；

（4）若PD=PF，則P為DF的垂直平分線與x軸的交點，
根據(jù)題意在BC上，設(shè)其坐標(biāo)為P（x，0），則PC=3-x，
根據(jù)勾股定理得

x2+12

=

(3-x)2+22

，解得x=2，
∴線段BC上存在點P，使PD=PF，P（2，0）．

點評：此題綜合性較強(qiáng)，把函數(shù)知識與四邊形相結(jié)合以及進(jìn)行存在性問題討論，檢驗學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．