Question

【題目】如圖1，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，AF⊥l于點(diǎn)F，BE⊥l于點(diǎn)E．

（1）求證：△ACF≌△CBE；

（2）將直線旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接DE．若AB=，∠CBE=30°，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)垂直的定義得到∠BEC=∠ACB=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠EBC=∠CAF，即可得到結(jié)論；

（2）連接CD，DF，證得△BCE≌△ACF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=CF，CE=AF，證得△DEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EF=DE，EF=CE+BE，進(jìn)而得到DE的長(zhǎng)．

試題解析：解：（1）∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF．∵AF⊥l于點(diǎn)F，∴∠AFC=90°．

在△BCE與△ACF中，∵，∴△ACF≌△CBE（AAS）；

（2）如圖2，連接CD，DF．∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF．∵AF⊥l于點(diǎn)F，∴∠AFC=90°．

在△BCE與△CAF中，∵，∴△BCE≌△CAF（AAS）；

∴BE=CF．∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴CD=BD，∠CDB=90°，∴∠CBD=∠ACD=45°，而∠EBC=∠CAF，∴∠EBD=∠DCF．在△BDE與△CDF中，∵，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴∠EDB=∠FDC，DE=DF．∵∠BDE+∠CDE=90°，∴∠FDC+∠CDE=90°，即∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴EF=DE，∴EF=CE+CF=CE+BE．∵CA=CB，∠ACB=90°，AB=4，∴BC=4．又∵∠CBE=30°，∴CE=BC=2，BE=CE=2，∴EF=CE+BE=2+2，∴DE===+．