Question

（2010•保定一模）如圖，A、B、C分別表示面積為9、10、11的三個(gè)圓．已知三個(gè)圓所覆蓋的總面積為20．A與B、B與C、C與A每?jī)蓤A公共部分所覆蓋面積分別為5、4、3，求A、B、C三個(gè)圓公共部分所覆蓋的面積．

探索發(fā)現(xiàn)：
我們把三個(gè)圓所覆蓋的總面積記為A∨B∨C；每?jī)蓤A公共部分所覆蓋的面積記為AB、BC、CA；三個(gè)圓公共部分所覆蓋的面積記為ABC．根據(jù)題意，有：
（1）三個(gè)圓的面積和為：A+B+C=

30

；
（2）重合部分覆蓋的面積為（A+B+C）-A∨B∨C=

10

；
（3）每?jī)蓤A公告部分所覆蓋的面積和為：AB+BC+CA=

12

；
（4）三個(gè)圓公共部分所覆蓋的面積：ABC=

2

．
總結(jié)歸納：
利用上題中規(guī)定的符號(hào)和解答過程，補(bǔ)全等式：ABC=

AB+BC+CA+A∨B∨C-（A+B+C）

．
利用上述方法得到的啟示，解決下面的問題：
某年級(jí)共有74名學(xué)生參加課外小組．其中，參加球類的有34人，參加棋類的有32人，參加田徑類的有30人；既參加球類又參加棋類的有7人，既參加棋類又參加田徑類的有8人，既參加田徑類又參加球類的有10人．求三個(gè)小組都參加的人數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A、B、C分別表示面積為9、10、11的三個(gè)圓，即可得出面積總和；
（2）利用三個(gè)圓所覆蓋的總面積為20，即可得出重合部分覆蓋的面積；
（3）根據(jù)A與B、B與C、C與A每?jī)蓤A公共部分所覆蓋面積分別為5、4、3，即可求出總和；
（4）根據(jù)重合部分覆蓋的面積-每?jī)蓤A公告部分所覆蓋的面積和=三個(gè)圓公共部分所覆蓋的面積，再利用所求數(shù)據(jù)得出ABC=AB+BC+CA+A∨B∨C-（A+B+C）；
仿照以上作法用3個(gè)圓分別表示參加球類、棋類和田徑類小組的人數(shù)，即可得出答案．

解答：解：（1）∵A、B、C分別表示面積為9、10、11的三個(gè)圓．
∴三個(gè)圓的面積和為：A+B+C=9+10+11=30；

（2）∵三個(gè)圓所覆蓋的總面積為20，
∴重合部分覆蓋的面積為（A+B+C）-A∨B∨C=30-20=10；

（3）∵A與B、B與C、C與A每?jī)蓤A公共部分所覆蓋面積分別為5、4、3，
∴每?jī)蓤A公告部分所覆蓋的面積和為：AB+BC+CA=5+4+3=12，

（4）∵重合部分覆蓋的面積-每?jī)蓤A公告部分所覆蓋的面積和=三個(gè)圓公共部分所覆蓋的面積，
∴三個(gè)圓公共部分所覆蓋的面積：ABC=12-10=2，
∴ABC=AB+BC+CA+A∨B∨C-（A+B+C）；
用3個(gè)圓分別表示參加球類、棋類和田徑類小組的人數(shù)，分別記為A、B、C，
用AB表示同時(shí)參加球類和棋類的人數(shù)，用BC表示同時(shí)參加棋類和田徑類的人數(shù)，用CA表示同時(shí)參加田徑類和球類的人數(shù)，
ABC表示同時(shí)參加三個(gè)小組的人數(shù)，A∨B∨C表示年級(jí)參加課外小組的總?cè)藬?shù)，
根據(jù)題意得出：A=34，B=32，C=30，AB=7，BC=8，CA=10，A∨B∨C=74，
根據(jù)：ABC=AB+BC+CA+A∨B∨C-（A+B+C）=7+8+10+74-（34+32+30）=3（人）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相交兩圓的性質(zhì)以及規(guī)律性問題應(yīng)用，根據(jù)已知得出個(gè)部分面積之和，發(fā)現(xiàn)存在規(guī)律是解題關(guān)鍵．