Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，AB＝2。若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)。將Rt△OAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處。

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）若拋物線（≠0）經(jīng)過C、A兩點(diǎn)，求此拋物線的解析式；

（3）若拋物線的對稱軸與OB交于點(diǎn)D，點(diǎn)P為線段DB上一點(diǎn)，過P作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M。問：是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

注：拋物線（≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸公式為

Answer 1

（1）過點(diǎn)C作CH⊥軸，垂足為H

∵在Rt△OAB中，∠OAB＝90⁰，∠BOA＝30⁰，AB＝2

∴OB＝4，OA＝

由折疊知，∠COB＝30⁰，OC＝OA＝

∴∠COH＝60⁰，OH＝，CH＝3

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）

（2）∵拋物線（≠0）經(jīng)過C（，3）、A（，0）兩點(diǎn)

       ∴      解得：

        ∴此拋物線的解析式為：

（3）存在。因?yàn)?sub>的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）即為點(diǎn)C

       MP⊥軸，設(shè)垂足為N，PN＝，因?yàn)椤螧OA＝30⁰，所以O(shè)N＝

       ∴P（，）

       作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E

把代入得：

        ∴ M（，），E（，）

       同理：Q（，），D（，1）

       要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD

       即，解得：，（舍）

       ∴ P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

      ∴ 存在滿足條件的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點(diǎn)的坐為（，）