Question

【題目】如圖1，點A，O，B依次在直線MN上．將射線OA繞點O沿順時針方向以每秒18°的速度旋轉，同時射線OB繞點O沿順時針方向以每秒6°的速度旋轉（如圖2）．設旋轉時間為t（0≤t≤30，單位秒）．

（1）當t＝10時，∠AOB＝　 　°；

（2）在旋轉過程中是否存在這樣的t，使得射線OM是由射線OB、射線OA組成的角（指大于0°而不超過180°的角）的平分線？如果存在，請求出t的值；如果不存在，請說明理由．

（3）在運動過程中，當∠AOB＝45°時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）t=；（3）t=或.

【解析】

（1）當t＝10時，∠AOM＝18°×10＝180°，即OA與ON重合，故

∠AOB=∠BON=60°.

（2）求OA追上OB的大致時刻，得到OM平分∠AOB時的圖形，用t表示此時

∠AOM與∠BOM的度數(shù)，列方程即可求t.

（3）OA、OB都是順時針旋轉，可理解為初始路程差為180°的追及問題：

當∠AOB第一次達到45°時，OA差300追上OB，路程差為（180-45）°即得18t-6t=180-45；當∠AOB第二次達到45°時，OA追上OB且超過45°，路程差為（180+45）°；

當∠AOB第三次達到45°時，OA再走一圈差45°追上OB，路程差為多轉了（180+360-45）°，此時求出的t大于30故不需再求.

(1)當t＝10時，∠AOM＝18°×10＝180°，∠BON＝6°×10＝60°

∠AOB＝180°-∠AOM+∠BON＝60°故答為60°.

(2)存在滿足條件的t值.

OA旋轉一周所需時間為:360°÷18＝20秒，

此時∠BON＝6°×20＝120°，即OA已經旋轉過OB的位置，

若OM平分∠AOB且0°＜∠AOB＜180°位置如圖1，

∴∠AOM＝（18t-360）°，∠BOM＝（180-6t）°

∴18t-360=180-6t，解得t=，

（3）如圖2，當∠AOB第一次達到45°時，OA比OB多轉了（180-45）°

得18t-6t=180-45，解得t=，

如圖3，當∠AOB第二次達到45°時，OA比OB多轉了（180+45）°，

得18t-6t=180+45，解得t=，

當∠AOB第三次達到45°時，OA比OB多轉了（180+360-45）°，

得18t-6t=180+360-45，解得t= 大于30，不合題意，

綜上所述，當∠AOB=45°時，t=或.