Question

附加題：如圖，已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，以對角線BD為邊作正三角形BDE，過E作DA的延長線的垂線EF，垂足為F．
（1）找出圖中與EF相等的線段，并證明你的結(jié)論；
（2）求AF的長．

Answer 1

分析：（1）連接AE，首先證明△ABE≌△ADE得到∠BEA=30°，再根據(jù)題意∠EAF=∠AED+∠ADE=45°，又知EF⊥AD，故可得AF=EF，
（2）設(shè)AF=x，由勾股定理得EF²+FD²=ED²，列出等量關(guān)系式，解得x．

解答：解：（1）AF=EF；
理由如下：連接AE，
∵△DBE是正三角形，
∴EB=ED．
∵AD=AB，AE=AE，
∴△ABE≌△ADE．
∴∠BEA=∠DEA=

1

2

×60°=30°．
∵∠EDA=∠EDB-∠ADB=60°-45°=15°，
∴∠EAF=∠AED+∠ADE=45°．
∵EF⊥AD，
∴△EFA是等腰直角三角形．
∴EF=AF．

（2）設(shè)AF=x，
∵AD=2，BD=2

2

=ED，F(xiàn)D=2+x，
在Rt△EFD中，
由勾股定理得EF²+FD²=ED²
即x²+（2+x）²=（2

2

）²
∴x=

3

-1（x=-

3

-1舍去），∴AF=

3

-1．

點(diǎn)評：本題主要考查正方形的性質(zhì)，還涉及到等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識點(diǎn)．