Question

如圖，在凸四邊形ABCD中，M為邊AB的中點，且MC=MD，分別過C，D兩點，作邊BC，AD的垂線，設(shè)兩條垂線的交點為P．
求證：∠PAD=∠PBC．

Answer 1

證明：如圖：取AP，BP的中點分別為F，E；并連接DF，MF，EC，ME；
根據(jù)三角形的中位線定理得：MF=BP=PE，ME=AP=PF，
∴四邊形MFPE為平行四邊形
∴∠MFP=∠MEP，
∵PD⊥AD，PC⊥BC，
∴∠ADP=∠BCP=90°，
∴在Rt△APD與Rt△BPC中，
DF=AF=PF=PA，CE=BE=PE=BP，
∴DF=EM=PF，F(xiàn)M=PE=CE，
∵MC=MD，
∴△MDF≌△CME（SSS），
∴∠DFM=∠MEC，
∴∠DFP=∠CEP，
∴FA=FD，CE=BE，
∴∠DAF=∠FDA，∠ECB=∠CBE，
∴∠DFP=2∠DAP，∠CEP=2∠CBP，
∵∠DFP=∠CEP，
∴∠PAD=∠PBC．
分析：用中位線定理證明，MF=BP=BE，ME=AP=DF，進而證明△MDF≌△CME，并根據(jù)平行四邊形對角相等求證．
點評：考查中位線定理在平行四邊形中的應(yīng)用和平行四邊形中全等三角形的證明．