Question

如圖，⊙O中半徑OA=2，∠AOB=60°，P為

AB

上的點(diǎn)，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．
（1）若P是

AB

的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)P不是

AB

的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若∠AOB=45°，求MN的長(zhǎng)．（不用證明）

Answer 1

分析：（1）P是弧AB的中點(diǎn)，那么可連接OP，根據(jù)垂徑定理即可得出OP⊥MN，∠MOP=30°，根據(jù)OP⊥MN構(gòu)建的直角三角形和∠MOP的度數(shù)，半徑的長(zhǎng)已知，即可求出MN的值．
（2）如果P不是弧AB的中點(diǎn)，可作出（1）中的情況，然后找中間值進(jìn)行比較，找出弧AB的中點(diǎn)Pn，過(guò)Pn作Pn⊥OA于Mn，Pn⊥OB于Nn．由于過(guò)P和Pn的線段都垂直于半徑，那么可聯(lián)系中位線的知識(shí)進(jìn)行求解，可延長(zhǎng)這些線段，通過(guò)構(gòu)建三角形，通過(guò)證這兩個(gè)三角形的底邊相等來(lái)得出它們的中位線相等進(jìn)而得出P是弧AB的中點(diǎn)是，MN的長(zhǎng)度不變．
（3）由于P在任何位置MN的長(zhǎng)度都不變，如果讓A點(diǎn)與P點(diǎn)重合，那么∠AOB=45°，此時(shí)可在直角三角形OPN中，根據(jù)∠AOB的度數(shù)和半徑的長(zhǎng)來(lái)求出MN的值．

解答：解：（1）連接OP，
∵P為

AB

中點(diǎn)
∴∠AOP=∠BOP=

1

2

∠AOB=30°
∵PM⊥OA于Mcos∠AOP=

OM

OP

=

3

2

，
∴OM=

3

同理ON=

3

∴OM=ON，
∵∠AOB=60°，
∴△OMN為等邊三角形
∴MN=

3

；

（2）長(zhǎng)度不變．
設(shè)Pn為

AB

中點(diǎn)，垂足為Mn，Nn分別延長(zhǎng)PM，PN，PnMn，PnNn交⊙O于E，F(xiàn)，
En，F(xiàn)n由于∠EPF=∠EnPnFn=120°
∴EF=EnFn
又MN，MnNn分別為△PEF，△PnEnFn的中位線
∴MN=

1

2

EF，MnNn=

1

2

EnFn
∴MN=MnNn

（3）由（1），（2）可知P點(diǎn)取

AB

上任一點(diǎn)時(shí)MN長(zhǎng)度不變，包括P點(diǎn)與A，B重合時(shí)，
故當(dāng)∠AOB=45°時(shí)，
讓點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，
PN=

2

2

•2=

2

當(dāng)∠AOB=45°時(shí)，
MN=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理以及中位線的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，要注意（2）中輔助線的作法，根據(jù)題中的條件構(gòu)建出和所求的條件相關(guān)的三角形是解題的關(guān)鍵．