Question

△ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片，利用其剪裁一個(gè)正方形DEFG，使正方形的一條邊DE落在BC上，頂點(diǎn)F、G分別落在AC、AB上。

（1）證明：△BDG≌△CEF；
（2）探究：怎樣在鐵片上準(zhǔn)確地畫出正方形，小聰和小明各給出了一種想法，
（i）小聰想：要畫出正方形DEFG，只要能計(jì)算出正方形的邊長(zhǎng)就能求出BD和CE的長(zhǎng)，從而確定D點(diǎn)和E點(diǎn)，再畫正方形DEFG就容易了。設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為2，請(qǐng)你幫小聰求出正方形的邊長(zhǎng)。（結(jié)果用含根號(hào)的式子表示，不要求分母有理化）
（ii）小明想：不求正方形的邊長(zhǎng)也能畫出正方形，具體作法是：
①在AB邊上任取一點(diǎn)G′，如圖作正方形G′D′E′F′；
②連接BF′并延長(zhǎng)交AC于F；
③作FE∥F′E′交BC于E，F(xiàn)G∥F′G′交AB于G，GD∥G′D′交BC于D，
則四邊形DEFG即為所求。你認(rèn)為小明的作法正確嗎？說明理由。

Answer 1

解：（1）∵DEFG為正方形
∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°
∵△ABC是等邊三角形
∴∠B=∠C=60°
∴△BDG≌△CEF（AAS）。
（2）（i）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，作△ABC的高AH，
求得
由△AGF∽△ABC得
解之得：（或）。
（ii）正確
由已知可知，四邊形GDEF為矩形
∵FE∥F'E'
∴
同理
∴
又∵F'E'=F'G'，
∴FE=FG
因此，矩形GDEF為正方形。