Question

（2013•荊門）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，點M是BC的中點，P是線段MC上的一個動點（不與M、C重合），以AB為直徑作⊙O，過點P作⊙O的切線，交AD于點F，切點為E．
（1）求證：OF∥BE；
（2）設BP=x，AF=y，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）延長DC、FP交于點G，連接OE并延長交直線DC與H（圖2），問是否存在點P，使△EFO∽△EHG（E、F、O與E、H、G為對應點）？如果存在，試求（2）中x和y的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先證明Rt△FAO≌Rt△FEO進而得出∠AOF=∠ABE，即可得出答案；
（2）過F作FQ⊥BC于Q，利用勾股定理求出y與x之間的函數關系，根據M是BC中點以及BC=2，即可得出BP的取值范圍；
（3）首先得出當∠EFO=∠EHG=2∠EOF時，即∠EOF=30°時，Rt△EFO∽Rt△EHG，求出y=AF=OA•tan30°=

3

3

，即可得出答案．

解答：（1）證明：連接OE
FE、FA是⊙O的兩條切線
∴∠FAO=∠FEO=90°
在Rt△OAF和Rt△OEF中，

FO=FO OA=OE

∴Rt△FAO≌Rt△FEO（HL），
∴∠AOF=∠EOF=

1

2

∠AOE，
∴∠AOF=∠ABE，
∴OF∥BE，
                                            
（2）解：過F作FQ⊥BC于Q
∴PQ=BP-BQ=x-y
PF=EF+EP=FA+BP=x+y
∵在Rt△PFQ中
∴FQ²+QP²=PF²
∴2²+（x-y）²=（x+y）²
化簡得：y=

1

x

，（1＜x＜2）；

（3）存在這樣的P點，
理由：∵∠EOF=∠AOF，
∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，
當∠EFO=∠EHG=2∠EOF時，
即∠EOF=30°時，Rt△EFO∽Rt△EHG，
此時Rt△AFO中，
y=AF=OA•tan30°=

3

3

，
∴x=

1

y

=

3

∴當x=

3

，y=

3

3

時，△EFO∽△EHG．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及全等三角形的判定和性質以及相似三角形的判定與性質等知識，得出FQ²+QP²=PF²是解題關鍵．