Question

【題目】在中，，分別是兩邊的中點，如果上的所有點都在的內部或邊長，則稱為的中內�。�例如下圖中是的一條中內�。�

（1）如圖，在中，，，分別是，的中點．畫出的最長的中內弧，并直接寫出此時的長；

（2）在平面直角坐標系中，已知點，，，，，分別是，，的中點．

①若，直接寫出的中內弧所在圓的圓心的縱坐標的取值范圍；

②若在中存在一條中內弧，使得所在圓的圓心在的內部或邊長，直接寫出的取值范圍；

③若在中存在一條中內弧，使得所在圓的圓心在的內部或邊長，則的最小值為__________．

Answer 1

【答案】（1）圖見解析，；（2）①或；②；③

【解析】

（1）先根據中內弧的概念確認最長時圓的位置，再根據等腰直角三角形、勾股定理求解即可；

（2）①結合（1）中的結論確定中內弧為最長弧時的位置，從而得到臨界位置，再利用數形結合確定點P的縱坐標的取值范圍即可；

②先分別求出點P在兩個臨界位置（即在x軸上和在BC上）時t的值，再根據中內弧的定義、相似三角形的判定與性質即可得出t的取值范圍；

③先參照②的方法，求出t的取值范圍，再根據三角函數值求出，然后根據二次函數的性質求出的取值范圍，從而可得出答案．

（1）由題意可知，的圓心在DE的垂直平分線上，即在BC的垂直平分線上，當圓心為DE的中點時，與BC相切，此時是的最長的中內弧

，分別是，的中點

所在圓的半徑為

則的長為；

（2）①如圖，當時，

則

由題意知，中內弧所在圓的圓心在DF的垂直平分線PQ上，即在上

分以下兩種情況：

當中內弧在DF下方時

由（1）可知，當P為DF中點時是一個臨界位置

此時，點P坐標為

由中內弧的定義可知，當點P縱坐標時，所有的都是中內弧

當中內弧在DF上方時

圓P與BC相切是一個臨界位置，此時

由中位線定理得

是等腰直角三角形，

，即

由中內弧的定義可知，當點P縱坐標時，所有的都是中內弧

綜上，縱坐標的取值范圍為或；

②，分別是，的中點

如圖，當點P在AC上，且圓P與BC相切于點F時，則

過點F作

又

，即

解得或（舍去）

則當時，中存在一條中內弧，使得所在圓的圓心在的內部或邊長

如圖，當點P在BC上時，圓P與AC相切于點N，則

，即

，即

解得

則當時，中存在一條中內弧，使得所在圓的圓心在的內部或邊長

綜上，所求的t的取值范圍為；

③，分別是，的中點

如圖，當點Q在AC上，且圓Q與BC相切于點G，連接DQ

設，則

，即

解得

在中，，即

將代入解得：（其中，負值不符題意，舍去）

則當時，中存在一條中內弧，使得所在圓的圓心在的內部或邊長

如圖，當點Q在BC上時，圓Q與分別相切于點，連接

則四邊形ADQE是正方形，

由中位線定理得

，解得

則當時，中存在一條中內弧，使得所在圓的圓心在的內部或邊長

綜上，t的取值范圍為

要使的最小，則要取得最大值

由二次函數的性質可知，當時，隨著的增大而增大

則當時，取得最大值，最大值為

因此，的最小值為．