Question

【題目】如圖，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AD＝2DC＝4，AB＝6．動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長的速度，從點(diǎn)A沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)P以相同的速度，從點(diǎn)C沿折線C－D－A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)M作直線l∥AD，與線段CD的交點(diǎn)為E，與折線A－C－B的交點(diǎn)為Q．點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

（1）當(dāng)t＝0.5時(shí)，求線段QM的長；

（2）當(dāng)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否可以使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若可以，請(qǐng)求t的值；若不可以，請(qǐng)說明理由.

（3）當(dāng)t＞2時(shí)，連接PQ交線段AC于點(diǎn)R．請(qǐng)?zhí)骄?/span>是否為定值，若是，試求這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）QM=1；（2）t=1或或4；（3）為定值, .

【解析】試題分析：（1）過點(diǎn)C作CF⊥AB于F，利用直線平行得出Rt△AQM∽Rt△ACF，再利用對(duì)應(yīng)邊的比值相等求出即可；

（2）由于∠DCA為銳角，故有三種情況：

①當(dāng)∠CPQ＝90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，可得DE＋CP＝CD，從而可求t；②當(dāng)∠PQC＝90°時(shí)，如備用圖1，容易證出Rt△PEQ∽Rt△QMA，再利用比例線段，結(jié)合EQ＝EM﹣QM ＝4－2t，可求t；③當(dāng)P在AD上時(shí)，∠PCQ＝90°，此時(shí)PD＝CD，代入即可求出t的值；

（3）當(dāng)t＞2時(shí)，如備用圖2，先證明四邊形AMQP為矩形，再利用平行線分線段成比例定理的推論可得△CRQ∽△CAB，再利用比例線段可求．

試題解析：

解：（1）過點(diǎn)C作CF⊥AB于F，則四邊形AFCD為矩形．

∴CF＝4，AF＝2，

此時(shí)，Rt△AQM∽Rt△ACF，

∴ ，

即，

∴QM＝1；

（2）根據(jù)題意可得當(dāng)0≤t≤2時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)可以構(gòu)成三角形為直角三角形，故有三種情況：

①當(dāng)∠CPQ＝90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，此時(shí)DE＋CP＝CD，即t＋t＝2，∴t＝1；

②當(dāng)∠PQC＝90°時(shí)，

如備用圖1，此時(shí)Rt△PEQ∽Rt△QMA，

∴ ，

由（1）知，EQ＝EM﹣QM＝4﹣2t，

而PE＝PC﹣CE＝PC﹣（DC﹣DE）＝t﹣（2﹣t）＝2t﹣2，

∴ ，

∴t＝ ；

③當(dāng)P在AD上時(shí)，∠PCQ＝90°，此時(shí)PD＝CD，所以t－2＝2 ，所以t＝4；

綜上所述，t＝1或或4；

（3）為定值,

當(dāng)t＞2時(shí)，如備用圖2，PA＝DA﹣DP＝4﹣（t﹣2）＝6﹣t，

由（1）得，BF＝AB﹣AF＝4，∴CF＝BF，∴∠CBF＝45°，∴QM＝MB＝6﹣t，∴QM＝PA，

∵AB∥DC，∠DAB＝90°，∴四邊形AMQP為矩形，∴PQ∥AB，∴△CRQ∽△CAB，

∴ .