Question

（2012•延慶縣一模）如圖1，已知：已知：等邊△ABC，點D是邊BC上一點（點D不與點B、點C重合），求證：BD+DC＞AD．
下面的證法供你參考：
把△ACD繞點A順時針旋轉60°得到△ABE，連接ED，則有△ACD≌△ABE，DC=EB，∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等邊三角形，∴AD=DE．在△DBE中，BD+EB＞DE，即：BD+DC＞AD
實踐探索：
（1）請你仿照上面的思路，探索解決下面的問題：
如圖3，點D是等腰直角三角形△ABC邊上的點（點D不與B、C重合）．求證：BD+DC＞

2

AD．
（2）如果點D運動到等腰直角三角形△ABC外或內時，BD、DC和AD之間又存在怎樣的數量關系？直接寫出結論．
創(chuàng)新應用：
（3）已知：如圖4，等腰△ABC中，AB=AC，且∠BAC=α（α為鈍角），D是等腰△ABC外一點，且∠BDC+∠BAC=180°，BD、DC與AD之間存在怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并證明．

Answer 1

分析：（1）把△ACD繞點A順時針旋轉90°得到△ABE，連接ED，則易證△ACD≌△ABE，根據勾股定理可以的到DE=

2

AD，在△DBE中利用兩邊之和大于第三邊即可得到；
（2）把△ACD繞點A順時針旋轉90°得到△ABE，連接ED，則易證△ACD≌△ABE，△AED是等腰直角三角形，則DE=

2

AD，在△BED中，利用三角形三邊關系定理即可證得；
（3）把△ACD繞點A順時針旋轉α，得到△ABE，則有△ACD≌△ABE，則易證E、B、D三點共線，在等腰△ADE中，利用兩邊之和大于第三邊即可得到．

解答：解：（1）證明：把△ACD繞點A順時針旋轉90°得到△ABE，連接ED
則有△ACD≌△ABE，
DC=EB
∵AD=AE，∠DAE=90°
∴△ADE是等腰直角三角形
∴DE=

2

AD
在△DBE中，BD+EB＞DE，
即：BD+DC＞

2

AD；

（2）把△ABD旋轉，使AB與AC重合，然后繞AC旋轉，得到△ACD′，
則BD=CD′，
在△CDD′中，CD+CD′＞DD′，
即BD+CD＞DD′，
∵△ADD′是鈍角三角形，則DD′＞

2

AD
當D運動到B的位置時，DD′=BC=

2

AD．
∴BD+DC≥

2

AD；

（3）猜想1：BD+DC＜2AD
證明：把△ACD繞點A順時針旋轉α，得到△ABE則有△ACD≌△ABE，DC=EB，∠ACD=∠ABE
∵∠BAC+∠BDC=180°
∴∠ABD+∠ACD=180°
∴∠ABD+∠ABE=180°
即：E、B、D三點共線．
∵AD=AE，
∴在△ADE中，AE+AD＞ED，即BD+DC＜2AD．

點評：本題考查了旋轉的性質以及勾股定理，通過旋轉構造全等的三角形，把所研究的三條線段轉移到同一個三角形中，是解題的基本思路．