Question

已知：拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)A是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，試在y軸上確定一點(diǎn)P，使PA+PB最短，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)A作AC∥BP交y軸于點(diǎn)C，求到直線AP、AC、CP距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）∵拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)， ∴k2+k=0， 解得：k1=0，k2=-1， ∵k≠0 ∴k=-1 ∴， ∴ （2）令y=0，得， 解得：x1=0，x2=， ∴， A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)是， 聯(lián)結(jié)A′B，直線A′B與y軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P， 可求得直線的解析式：， ∴P（0，2）； （3）到直線AP、AC、CP距離相等的點(diǎn)有四個(gè)， 如圖，由勾股定理得PC=PA=AC=4，所以△PAC為等邊三角形， 易證x軸所在直線平分∠PAC，BP是△PAC的一個(gè)外角的平分線,作∠PCA的平分線，交x軸于點(diǎn)M1，交過A點(diǎn)的平行線于y軸的直線于點(diǎn)M2，作△PAC的∠PCA相鄰?fù)饨堑钠椒志�，交AM2于點(diǎn)M3，反向延長(zhǎng)CM3交x軸于點(diǎn)M4，可得點(diǎn)M1、M2、M3、M4就是到直線AP、AC、CP距離相等的點(diǎn)，可證△APM2、△ACM3、△PCM4均為等邊三角形,可求得： ①，所以點(diǎn)M1的坐標(biāo)為； ②，所以點(diǎn)M2的坐標(biāo)為； ③點(diǎn)M3與點(diǎn)M2關(guān)于x軸對(duì)稱，所以點(diǎn)M3的坐標(biāo)為； ④點(diǎn)M4與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，所以點(diǎn)M4的坐標(biāo)為， 綜上所述，到直線AP、AC、CP距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，。