Question

【題目】如圖，點O是△ABC內一點，連結OB、OC，并將AB、OB、OC、AC的中點D、E、F、G依次連結，得到四邊形DEFG．

（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）如果∠OBC=45°，∠OCB=30°，OC=4，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF∥BC且EF =BC，DG∥BC且DG =BC，從而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；

（2）過點O作OM⊥BC于M，由∠OCM=30°，OC=4，得到OM=OC =2，從而得到CM=，在Rt△OBM中，由∠BMO=∠OMB=45°，得到BM=OM=2，故BC=，從而有EF=．

試題解析：（1）∵ D、G分別是AB、AC的中點，∴DG∥BC，DG=BC，∵ E、F分別是OB、OC的中點，∴EF∥BC，EF=BC，∴DE=EF，DG∥EF，∴四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）過點O作OM⊥BC于M，Rt△OCM中，∠OCM=30°，OC=4，∴OM=OC =2，∴CM=，Rt△OBM中，∠BMO=∠OMB=45°，∴BM=OM=2，∴BC=，∴EF=．