Question

【題目】如圖，、是的直徑，是的弦，且，過點的切線與的延長線交于點，連接.

(1)求證：平分；

(2)求證：；

(3)若，求的半徑.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）5.

【解析】試題分析：（1）由BE∥CD知∠1=∠3，根據(jù)∠2=∠3即可得∠1=∠2；（2）連接EC、AC，由PC是⊙O的切線且BE∥DC，得∠1+∠4=90°，由∠A+∠2=90°且∠A=∠5知∠5+∠2=90°，根據(jù)∠1=∠2得∠4=∠5，從而證得△PBC∽△PCE，即可得結(jié)論；（3）由PC2=PBPE、BE﹣BP=PC=4求得BP=2、BE=6，作EF⊥CD可得PC=FE=4、FC=PE=8，再Rt△DEF≌Rt△BCP得DF=BP=2，據(jù)此得出CD的長即可．

試題解析：

（1）∵BE∥CD，

∴∠1=∠3，

又∵OB=OC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠2，即BC平分∠ABP；

（2）如圖，連接EC、AC，

∵PC是⊙O的切線，

∴∠PCD=90°，

又∵BE∥DC，

∴∠P=90°，

∴∠1+∠4=90°，

∵AB為⊙O直徑，

∴∠A+∠2=90°，

又∠A=∠5，

∴∠5+∠2=90°，

∵∠1=∠2，

∴∠5=∠4，

∵∠P=∠P，

∴△PBC∽△PCE，

∴，即PC2=PBPE；

（3）∵BE﹣BP=PC=4，

∴BE=4+BP，

∵PC2=PBPE=PB（PB+BE），

∴42=PB（PB+4+PB），即PB2+2PB﹣8=0，

解得：PB=2，

則BE=4+PB=6，

∴PE=PB+BE=8，

作EF⊥CD于點F，

∵∠P=∠PCF=90°，

∴四邊形PCFE為矩形，

∴PC=FE=4，F(xiàn)C=PE=8，∠EFD=∠P=90°，

∵BE∥CD，

∴，

∴DE=BC，

在Rt△DEF和Rt△BCP中，

∵，

∴Rt△DEF≌Rt△BCP（HL），

∴DF=BP=2，

則CD=DF+CF=10，

∴⊙O的半徑為5．