Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知直線與直線相交于點。

（1）求點的坐標；

（2）點是內部一點，連接，求的最小值；

（3）將點向下平移一個單位得到點，連接，將繞點旋轉至的位置，使軸，再將沿軸上下平移得到，在平移過程中，直線與軸交于點，在直線上任取一點，連接，，能否以為直線邊構成等腰直角三角形？若能，請直接寫出所有符合條件的點的坐標，若不能，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）T1，T2（），T3（）

【解析】

（1）列方程組求兩個一次函數的交點坐標；（2）將△APC繞點C順時針旋轉60°，得到△DEC，連接BE，PD，則線段BE即為PA+PB+PC最小值的線段；(3)分四種情形：①當O1K=KT時，且O1在x軸下方，②當O1K=O1T時，且O1在x軸下方，③當O1K=KT時，且O1在x軸上方，④當O1K=O1T時，且O1在x軸上方，逐個進行計算即可．

解：（1）由題意可得：

解得：

∴點A的坐標為

（2）如圖2，將△APC繞點順時針旋轉60°得到△EDC，連接BE，PD．

在中

當x=0時，y=4

當y=0時，

∴

∴∠ACB=30°

由旋轉的性質可知：△PCD是等邊三角形，

∴PC=PD，

∵PA=DE，

∴PA+PB+PC=DE+PB+PD，

∵DE+PB+PD≥BE，

∴當P，D在直線BE上時，PA+PB+PC的值最小，

∵在中

當y=0時，

∴BC=CE=，∠BCE=90°，

∵EB⊥BC，

∴BE=BC=，

∴PA+PB+PC的最小值為．

（3）①當O1K=KT時，且O1在x軸下方，如圖，則M（）

由題意可知：OB=OB1=，OD=2，OD1=3

∴

∴∠OKO1=30°

∵是等腰直角三角形

∴易證：△KTM≌△O1OK

∴OK=MT

設MT=t，則KM=

∴

解得：

∴T點坐標為（）

②當O1K=O1T時，且O1在x軸下方，如圖，作TN⊥y軸于N，

∵∠KON=∠TNO=∠TO1K=90°，

∴∠OO1K+∠O1KO=∠OO1K+∠TO1N=90°

∴∠O1KO=∠TO1N

∵O1K=O1T

∴△O1KO≌△TO1N（AAS）

∴OO1=TN=

∵∠OKO1=30°

即：

∴O1N=OK=9

∴ON=

∴T2（），

③當O1K=KT時，且O1在x軸上方，方法同①，此時，點T不存在；

④當O1K=O1T時，且O1在x軸上方，方法同②，可求得T3（）；

綜上所述，使△O1KT成為以O1K為直角邊的等腰直角三角形的點T的坐標為：T1，T2（），T3（）