Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c的圖像與x軸的一個交點為A(1，0)，另一個交點為B，且與y軸交于點C(0，5)．

(1)求直線BC及拋物線的解析式；

(2)若點M是拋物線在x軸下方圖像上的一動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，求MN的最大值；

(3)在(2)的條件下，MN取得最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖像上任意一點，以BC為邊作□CBPQ，設□CBPQ的面積為S1，△ABN的面積為S2，且S1＝6S2，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1)y＝－x＋5, y＝x2－6x＋5;(2); (3)點P的坐標為P1(2，－3)（與點D重合）或P2(3，－4)．

【解析】分析：（1）根據待定系數法，可得函數解析式，

（2）根據平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得二次函數，根據二次函數的性質，可由頂點式求解；

（3）先求出△ABN的面積和BC的長，再根據平行四邊形的面積和△ABN的面積的關系，可得平行四邊形高的長，根據等腰直角三角形，可得CE的長，根據待定系數法，可得PQ的解析式，根據解方程可得答案．

詳解：(1)∵拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸的一個交點為A(1，0)，與y軸交于點C(0，5)，

∴將A(1，0)，C(0，5)代入y＝x2＋bx＋c，

解得：b＝－6，c＝5.

∴二次函數解析式為：y＝x2－6x＋5.

令y=0，求得另一交點B的坐標為（5，0）

設直線BC的解析式為：y＝kx＋5.

將B(5，0)代入直線BC解析式y(tǒng)＝kx＋5.

解得：k＝－1.

∴直線BC的解析式為：y＝－x＋5.

(2)如圖①.設M(x，y)，則

NM＝－x＋5－(x2－6x＋5).

NM＝－x2＋5x.

NM＝－(x－)2＋.

∴NM的最大值為.

（3）如圖②由第2問易得S2＝5，∴S1＝6S2＝30.

BC＝5，BC所在直線的解析式為：y＝－x＋5，

∠CBO＝45°，

∵S2＝30.∴平行四邊形CBPQ中BC邊上的高為.

過點C作CD⊥PQ與PQ所在直線相交于點D，

PD交y軸于點E，CD＝3，∴CE＝6，

∵平行四邊形CBPQ的邊PQ所在直線，在直線BC的兩側可能各有一條，但點P在x軸下方，

∴PQ的解析式為y＝－x－1.

∵點P同時在拋物線和直線PQ上，

∴x2－6x＋5＝－x－1.解得x1＝2，x2＝3，

∴P1(2，－3)，P2(3，－4).