Question

【題目】在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC邊上一點(diǎn)，且DA＝DB，O是AB的中點(diǎn)，CE是△BCD的中線．

(1)如圖a，連接OC，請(qǐng)直接寫出∠OCE和∠OAC的數(shù)量關(guān)系：　 　；

(2)點(diǎn)M是射線EC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得射線ON，使∠MON＝∠ADB，ON與射線CA交于點(diǎn)N．

①如圖b，猜想并證明線段OM和線段ON之間的數(shù)量關(guān)系；

②若∠BAC＝30°，BC＝m，當(dāng)∠AON＝15°時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段ME的長(zhǎng)度(用含m的代數(shù)式表示)．

Answer 1

【答案】（1）∠ECO＝∠OAC；（2）①OM＝ON，理由見解析，②EM的值為m+m或m﹣m

【解析】

(1)結(jié)論：∠ECO＝∠OAC．理由直角三角形斜邊中線定理，三角形的中位線定理解決問題即可．

(2)①只要證明△COM≌△AON(ASA)，即可解決問題．

②分兩種情形：如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)N在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)N在線段AC上時(shí)，作OH⊥AC于H．分別求解即可解決問題．

解：(1)結(jié)論：∠ECO＝∠OAC．

理由：如圖1中，連接OE．

∵∠BCD＝90°，BE＝ED，BO＝OA，

∵CE＝ED＝EB＝BD，CO＝OA＝OB，

∴∠OCA＝∠A，

∵BE＝ED，BO＝OA，

∴OE∥AD，OE＝AD，

∴CE＝EO．

∴∠EOC＝∠OCA＝∠ECO，

∴∠ECO＝∠OAC．

故答案為：∠OCE＝∠OAC．

(2)如圖2中，

∵OC＝OA，DA＝DB，

∴∠A＝∠OCA＝∠ABD，

∴∠COA＝∠ADB，

∵∠MON＝∠ADB，

∴∠AOC＝∠MON，

∴∠COM＝∠AON，

∵∠ECO＝∠OAC，

∴∠MCO＝∠NAO，

∵OC＝OA，

∴△COM≌△AON(ASA)，

∴OM＝ON．

②如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)N在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵∠CAB＝30°＝∠OAN+∠ANO，∠AON＝15°，

∴∠AON＝∠ANO＝15°，

∴OA＝AN＝m，

∵△OCM≌△OAN，

∴CM＝AN＝m，

在Rt△BCD中，∵BC＝m，∠CDB＝60°，

∴BD＝m，

∵BE＝ED，

∴CE＝BD＝m，

∴EM＝CM+CE＝m+m．

如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)N在線段AC上時(shí)，作OH⊥AC于H．

∵∠AON＝15°，∠CAB＝30°，

∴∠ONH＝15°+30°＝45°，

∴OH＝HN＝m，

∵AH＝m，

∴CM＝AN＝m﹣m，

∵EC＝m，

∴EM＝EC﹣CM＝m﹣(m﹣m)＝m﹣m，

綜上所述，滿足條件的EM的值為m+m或m﹣m．