Question

有一個(gè)直角三角形紙片BCE，設(shè)點(diǎn)A是斜邊BE上的一點(diǎn)，連接AC，現(xiàn)沿AC將紙片剪開(kāi)，并將紙片ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)擺放成圖2、圖3、或圖4的樣子．
（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A是中點(diǎn)，且DE∥BC時(shí)，求∠BAE的度數(shù)；
（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)A是中點(diǎn)，但DE不平行于BC時(shí)，設(shè)M是DE的中點(diǎn)，連接AM交BC于點(diǎn)N，求證：∠ANB+∠BAE=180°；
（3）如圖4，當(dāng)AB＜AE時(shí)，設(shè)M是DE上的一點(diǎn)，連接AM交BC于點(diǎn)N，若∠ANB+∠BAE=180°，那么點(diǎn)M在DE上的位置滿(mǎn)足什么條件？
（溫馨提示：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)性質(zhì)推出AB=AE=AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出∠B=∠ACB，∠E=∠ACE，根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出即可；
（2）求出等腰三角形ADE，推出∠MAE=∠DAE=∠B即可；
（3）求出∠E+∠MAE=∠E+∠B=90°即可．

解答：解：（1）∵∠ECB=90°，A是BE的中點(diǎn)，
∴AB=AE=AC，
∴∠B=∠ACB，∠E=∠ACE，
∴∠B+∠ACE=90°，
∵DE∥BC，
∴∠AHB=∠E，
∴∠BAE=180°-90°=90°，
答：∠BAE的度數(shù)是90°．

（2）∵△ABN內(nèi)角和180°，∠ANB和∠BAN是重合的，
在第二問(wèn)中A是中點(diǎn)，在直角三角形中連斜邊中點(diǎn)得到的是兩個(gè)等腰三角形，
所以∠B=∠ACB=

1

2

∠DAE（因?yàn)椤螪AE是原來(lái)的外角），
同時(shí)AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形，
中線就是垂線、角平分線，
所以∠MAE=∠DAE=∠B，
即∠ANB+∠BAE=180°．

（3）與（2）類(lèi)似：同理∠B=∠MAE，同時(shí)∠E是原來(lái)直角三角形里的另一個(gè)銳角，就是∠B的余角，
所以∠E+∠MAE=∠E+∠B=90°
結(jié)論：M是A在DE上的垂足．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形斜邊上的中線，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能正確運(yùn)用選擇進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．