Question

一次函數(shù)y=（k-）x-3k+10（k為偶數(shù)）的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，與x軸、y軸分別交于A、B兩點，過點B作一直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，交x軸于點C．
（1）求該一次函數(shù)的解析式；
（2）若一開口向上的拋物線經(jīng)過點A、B、C三點，求此拋物線的解析式；
（3）過（2）中的A、B、C三點作△ABC，求tan∠ABC的值．

Answer 1

解：（1）由題意得：，
解得，＜k＜，
又∵k為偶數(shù)，
∴k=2，
∴一次函數(shù)的解析式為y=x+4．

（2）求得A（-3，0）、B（0，4），
∴OB=4，
∵S_△BOC=•OB•OC=2•OC=2，
∴OC=1，
∴C（1，0）或（-1，0）．
若取C（1，0）、A（-3，0）、B（0，4），設(shè)y=a（x+3）（x-1），
將B（0，4）代入，
解得a=-＜0（舍去），
若取C（-1，0）、A（-3，0）、B（0，4），
設(shè)y=a（x+3）（x+1），將B（0，4）代入，
求得a=，
∴拋物線為y=x²+x+4．

（3）如圖，過C作CD⊥AB于D，則tan∠ABC=，
∵sin∠BAO==，cos∠BAO==，
∴=，DC=，=，AD=，
∴BD=，
∴tan∠ABC=．
分析：（1）求該一次函數(shù)y=（k-）x-3k+10（k為偶數(shù)）的解析式，需求出k的值，根據(jù)圖象經(jīng)過第一、二、三象限，得到k的取值范圍，確定k的值，得到一次函數(shù)的解析式為y=x+4．
（2）求拋物線的解析式，可用待定系數(shù)法，需要求出A，B，C三點的坐標(biāo)，
先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出A、B兩點的坐標(biāo)，再由S_△BOC=2，求出C點坐標(biāo)．
（3）要求tan∠ABC的值，根據(jù)正切函數(shù)的定義，構(gòu)造一個以∠ABC為內(nèi)角的直角三角形，過C作CD⊥AB于D，則tan∠ABC=．由于已知A、B、C三點的坐標(biāo)，可根據(jù)三角函數(shù)的定義分別求出DC，AD的值，再算出BD的值．
點評：本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角函數(shù)等知識．當(dāng)已知三點的坐標(biāo)，求拋物線的解析式時，可設(shè)三點式或者頂點式或者交點式，具體設(shè)哪一種形式比較簡便，要視三點的坐標(biāo)而定，本題用交點式比較簡便．