Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙C過(guò)原點(diǎn)O，交x軸于點(diǎn)A（2，0），交y軸于點(diǎn)B（0，2

3

）．
（1）求圓心的坐標(biāo)；
（2）拋物線y=ax²+bx+c過(guò)O、A兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)在正比例函數(shù)y=-

3

3

x的圖象上，求拋物線的解析式；
（3）過(guò)圓心C作平行于x軸的直線DE，交⊙C于D、E兩點(diǎn)，試判斷D、E兩點(diǎn)是否在（2）中的拋物線上；
（4）若（2）中的拋物線上存在點(diǎn)P（x₀，y₀），滿足∠APB為鈍角，求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）如圖線段AB是圓C的直徑，因?yàn)辄c(diǎn)A、B的坐標(biāo)已知，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）因?yàn)閽佄锞�過(guò)點(diǎn)A、O，所以可求得對(duì)稱軸，即可求得與直線y=-

3

3

x的交點(diǎn)，即是二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)式或者一般式，采用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（3）因?yàn)镈E∥x軸，且過(guò)點(diǎn)C，所以可得D、E的縱坐標(biāo)為

3

，求得直徑AB的長(zhǎng)，可得D、E的橫坐標(biāo)，代入解析式即可判斷；
（4）因?yàn)锳B為直徑，所以當(dāng)拋物線上的點(diǎn)P在⊙C的內(nèi)部時(shí)，滿足∠APB為鈍角，所以-1＜x₀＜0，或2＜x₀＜3．

解答：解：（1）∵⊙C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O
∴AB為⊙C的直徑
∴C為AB的中點(diǎn)
過(guò)點(diǎn)C作CH垂直x軸于點(diǎn)H，則有CH=

1

2

OB=

3

，OH=

1

2

OA=1
∴圓心C的坐標(biāo)為（1，

3

）；（2分）

（2）∵拋物線過(guò)O、A兩點(diǎn)，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，
∵拋物線的頂點(diǎn)在直線y=-

3

3

x上，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-

3

3

），（3分）
把這三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線y=ax²+bx+c，得

c=0 4a+2b+c=0 a+b+c=- 3 3

（4分）
解得

a= 3 3 b=- 2 3 3 c=0

（5分）
∴拋物線的解析式為y=

3

3

x²-

2 3

3

x；（6分）

（3）∵OA=2，OB=2

3

，
∴AB=

22+(2 3 )2

=4，即⊙C的半徑r=2，
∴D（3，

3

），E（-1，

3

），（7分）
代入y=

3

3

x²-

2 3

3

x檢驗(yàn)，知點(diǎn)D、E均在拋物線上；（8分）

（4）∵AB為直徑，
∴當(dāng)拋物線上的點(diǎn)P在⊙C的內(nèi)部時(shí)，滿足∠APB為鈍角，
∴-1＜x₀＜0，或2＜x₀＜3．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓與二次函數(shù)的綜合知識(shí)，考查了待定系數(shù)法，考查了圓的性質(zhì)，考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性等，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．