Question

（1）如圖1是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式；
（2）伽菲爾德（1881年任美國第20屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（1876年4月1日發(fā)表在《新英格蘭教育日志》上），現(xiàn)請你嘗試證明過程．說明：c²=a²+b²．

Answer 1

解：（1）（a+b）²=a²+2ab+b²；

（2）如圖，∵Rt△DEC≌Rt△EAB，
∴∠DEC=∠EAB，
∵∠EAB+∠AEB=90°，
∴∠DEC+∠AEB=90°，
∴△AED為等腰直角三角形，
∵S_梯形ABCD=S_△Rt△ABE+S_Rt△DCE+S_Rt△DEA，
∴（b+a）（a+b）=ab+ab+c²，即（a+b）²=2ab+c²，
∵（a+b）²=a²+2ab+b²，
∴a²+2ab+b²=2ab+c²，
∴c²=a²+b²．
分析：（1）邊長為（a+b）的正方形分別由邊長為a、b的正方形和兩個長寬為a、b的長方形組成，利用面積法即可得到完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²；
（2）易證得Rt△DEC≌Rt△EAB，則∠DEC=∠EAB，而∠EAB+∠AEB=90°，于是∠DEC+∠AEB=90°，可得到△AED為等腰直角三角形，再利用S_梯形ABCD=S_△Rt△ABE+S_Rt△DCE+S_Rt△DEA得到
（b+a）（a+b）=ab+ab+c²，然后再利用（1）中的結(jié)論即可得到c²=a²+b²．
點評：本題考查了勾股定理的證明：利用面積法證明勾股定理．