Question

（2013•武漢）如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個動點(diǎn)，滿足AE=DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是

5

-1

．

Answer 1

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠1=∠2，利用“邊角邊”證明△ADG和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠2=∠3，從而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH=

1

2

AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時，DH的長度最小．

解答：解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，

AB=CD ∠BAD=∠CDA AE=DF

，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠2，
在△ADG和△CDG中，

AD=CD ∠ADG=∠CDG DG=DG

，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°，
取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，
則OH=AO=

1

2

AB=1，
在Rt△AOD中，OD=

AO2+AD2

=

12+22

=

5

，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH＞OD，
∴當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時，DH的長度最小，
最小值=OD-OH=

5

-1．
故答案為：

5

-1．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，確定出DH最小時點(diǎn)H的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．